相加相乗平均とは?証明~使い方まで全てが分かる記事!

数学 2016.12.28

高校数学における、相加相乗平均について、数学が苦手な生徒でも理解できるように解説します。

現役の慶應生が相加相乗平均について丁寧に解説しています。

相加相乗平均は、数学の問題の途中で利用することが多く、知っていないと解けない問題もあったりします。

本記事では、一般的な相加相乗平均だけでなく、3つの変数における相加相乗平均や、使い方についても解説していきます。

相加相乗平均について充実の内容なので、ぜひ最後まで読んでください!

【 目次 】

1:相加相乗平均とは?(公式)

2:相加相乗平均の証明

3:相加相乗平均の使い方

4:変数が3つの相加相乗平均

5:変数が3つの相加相乗平均の証明

6:相加相乗平均の問題

 

1:相加相乗平均とは?(公式)

まずは、相加相乗平均とは何か(公式)を解説します。

相加相乗平均とは、「2つの実数a、b(a>0、b>0)がある時、(a+b)/2≧√abが成り立ち、等号が成り立つのはa=bの時である」という公式のことをいいます。

※実数の意味がわからない人は、実数とは何かについて解説した記事をご覧ください。

相加相乗平均の公式

また、(a+b)/2をaとbの相加平均といい、√abのことを相乗平均といいます。

以上が相加相乗平均とは何か(公式)についての解説です。

次の章では、相加相乗平均が成り立つ理由(証明)を解説します。

 

2:相加相乗平均の証明

相加相乗平均の証明

では、相加相乗平均の証明を行っていきます。

a>0、b>0の時、

a+b-2√ab

=(√a)2-2・√a・√b+(√b)2

=(√a-√b)2≧0

よって、

a+b-2√ab≧0

となるので、両辺を整理して

(a+b)/2≧√ab となります。

また、等号は

(√a-√b)2=0

より、

√a=√b、すなわち

a=bの時に成り立ちます。

以上で相加相乗平均の証明ができました!

 

3:相加相乗平均の使い方

相加相乗平均はどんな場面・問題で使うのでしょうか?

本章では、例題を1つ使って、相加相乗平均の使い方をイメージして頂ければと思います。

使い方:例題

a>0とする。この時、a+1/2aの最小値を求めよ。

解答&解説

相加相乗平均より、

a+1/2a ≧ 2・√a・(1/2a)

です。

右辺を計算すると、

2・√a・(1/2a)

=√2

となるので、

a+1/2aの最小値は√2となります。

相加相乗平均の使い方がイメージできましたか?

今までは、aとbという2つの変数の相加相乗平均を解説してきました。

しかし、相加相乗平均は3つの変数でも活用できます。次の章からは、3つの変数の相加相乗平均を解説します。

 

4:変数が3つの相加相乗平均

変数が3つある場合の相加相乗平均は、「(a+b+c)/3≧(abc)1/3」となり、等号が成り立つのはa=b=cの時です。

ただし、a>0、b>0、c>0とする。

変数が3つある場合の相加相乗平均

次の章では、変数が3つの相加相乗平均の証明を解説します。

 

5:変数が3つの相加相乗平均の証明

変数が3つの相加相乗平均の証明

少し複雑な証明になりますが、頑張って理解してください!

まず、

x3+y3+z3-3xyz

=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)・・・①

です。ここで、x>0、y>0、z>0の時、①の右辺は、

x2+y2+z2-xy-yz-zx

=(2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx)/2

={(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2}/2≧0

となります。よって、①より

x3+y3+z3-3xyz≧0となりますね。

式を変形して、

(x3+y3+z3)/3≧xyz・・・②

となります。

ここで、x=a1/3、y=b1/3、z=c1/3

とおくと、②は、

(a+b+c)/3≧(abc)1/3

となることがわかりました。

等号は、

x=y、y=z、z=xの時、すなわちa=b=cの時に成り立つことがわかります。

変数が3つの場合の相加相乗平均の証明は以上になります。

次の章では、相加相乗平均の問題をいくつか出題します。ぜひ解いてみてください!

 

6:相加相乗平均の問題

相加相乗平均の問題

では、早速相加相乗平均の問題を解いていきましょう!

問題①

a>0、b>0とする。

この時、(b/a)+(a/b)≧2となることを証明せよ。

解答&解説

相加相乗平均より、

(b/a)+(a/b)≧2・√(b/a)・(a/b)

となるので、

(b/a)+(a/b)≧2

となります。よって示された。

 

問題②

a>0、b>0とする。

この時、ab+(9/ab)≧6となることを証明せよ。

解答&解説

相加相乗平均より、

ab+(9/ab)≧2・√ab・(9/ab)

となるので、

ab+(9/ab)≧6

となる。よって、示された。

 

問題③

a>0、b>0とする。

この時、(2a+b)(2/a+1/b)≧9となることを証明せよ。

解答&解説

まずは、

(2a+b)(2/a+2/b)≧9

の左辺を展開してみましょう。すると、

4+(2a/b)+(2b/a)+1≧9

となるので、

(2a/b)+(2b/a)≧4

より、両辺を2で割って、

(a/b)+(b/a)≧2

となります。すると、問題①と同じになりましたね。

相加相乗平均より、

(a/b)+(b/a)≧2・√(a/b)・(b/a)

なので、

(a/b)+(b/a)≧2

が証明されました。

 

いかがでしたか?相加相乗平均の公式や使い方が理解できましたか?

相加相乗平均は高校数学で忘れがちな公式の1つです。

相加相乗平均を忘れてしまったときは、また本記事で相加相乗平均を復習しましょう!


アンケートにご協力ください!【苦手科目に関するアンケート】

※アンケート実施期間:2017年7月18日〜

受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、中高生の学習事情についてのアンケート調査を行っています。

スマホからでも解答しやすく、約1分で回答できる4問選択式の簡単なアンケートですので、ぜひ皆様ご協力お願いします!

アンケートに答える