すぐに分かる!円の方程式の公式&証明

数学 2016.3.10

今回は円の方程式の公式と一般形の学習です。

円の方程式の公式・一般形は、高校数学で必ず覚えないといけない事柄の1つなので、必ず覚えましょう!

複雑な公式ではないので安心してくださいstar

一般形についても、そんなに難しくありません。

また、今回は誰でもわかるような丁寧な証明と練習問題も用意しました!

【目次】

1.円の方程式 公式と一般形

2.円の方程式 証明

3.練習問題

 

1. 円の方程式 公式と一般形

円の方程式の公式で覚えておかなくてはならないのが、以下の2つの公式です。

 

円の方程式 公式中心(x, y)=(a, b)、半径r の円の方程式の公式

(x-a)2 + (y-b)2 = r2

円の方程式 一般形

x2 + y2 + lx + my + n = 0

※l2 + m2 -4n>0の時に限る

 

2. 円の方程式 証明

証明はシンプルですが重要です。

円の方程式 証明

 

上図から分かるように、Rの長さは三平方の定理を使って・・

 

R=\sqrt {(X-A)^2+(Y-B)^2}

両辺を2乗すると・・

(X-A)+(Y-B)=R

一般形の方は、上の式を展開し、まとめたものです。

しかし、公式のところで記載しましたが、一つだけ条件(L+M-4N>0)があります。それを証明します。

一般式を変形すると

X^2+Y^2+LX+MY+N=(X+\frac{L}{2})^2+(Y+\frac{M}{2})^2-\frac{L^2}{4}-\frac{M^2}{4}+N=0 (X+\frac{L}{2})^2+(Y+\frac{M}{2})^2-\frac{L^2}{4}-\frac{M^2}{4}+N=0

置き換えると・・

(X+\frac{L}{2})^2+(Y+\frac{M}{2})^2=\frac{L^2}{4}+\frac{M^2}{4}-N \frac{L^2}{4}+\frac{M^2}{4}-N=R^2>0

だから\frac{L^2}{4}+\frac{M^2}{4}-N>0L^2+M^2-4N>0

どちらとも重要なので、円を見たら方程式が立てられるだけでなく、方程式を見たら、円がどのような円か分かるようにしましょう。

 

3.練習問題

最後に問題を解いてみましょう。

【問題】

点(-3, 4)を中心とし、原点を通るような円の方程式を求めて下さい。

 

【解答・解説】

円の半径をrとおく。

中心が(-3, 4)で、原点を通るということは、半径rは点(-3, 4)と原点との距離である。

円の方程式

よって

r2 = (-3)2 + 42 = 9+16 = 25

よって求める円の方程式は

(x+3)2 + (y-4)2 = 25 …(答)

 


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