すぐに分かる！円の方程式の公式&証明

今回は円の方程式の公式と一般形の学習です。

円の方程式の公式・一般形は、高校数学で必ず覚えないといけない事柄の１つなので、必ず覚えましょう！

複雑な公式ではないので安心してください

一般形についても、そんなに難しくありません。

また、今回は誰でもわかるような丁寧な証明と練習問題も用意しました！

 

1. 円の方程式　公式と一般形

円の方程式の公式で覚えておかなくてはならないのが、以下の２つの公式です。

 

円の方程式　公式中心(x, y)=(a, b)、半径r の円の方程式の公式

(x－a)² + (y－b)² = r²

円の方程式　一般形

x² + y² + lx + my + n = 0

※l² + m² －4n>0の時に限る

 

2. 円の方程式　証明

証明はシンプルですが重要です。

 

上図から分かるように、Rの長さは三平方の定理を使って・・

 

両辺を2乗すると・・

(X-A)^２+(Y-B)^２=R^２

一般形の方は、上の式を展開し、まとめたものです。

しかし、公式のところで記載しましたが、一つだけ条件(L^２+M^２-4N＞0)があります。それを証明します。

一般式を変形すると

置き換えると・・

だから→

どちらとも重要なので、円を見たら方程式が立てられるだけでなく、方程式を見たら、円がどのような円か分かるようにしましょう。

 

３．練習問題

最後に問題を解いてみましょう。

【問題】

点(－3, 4)を中心とし、原点を通るような円の方程式を求めて下さい。

 

【解答・解説】

円の半径をrとおく。

中心が(－3, 4)で、原点を通るということは、半径rは点(－3, 4)と原点との距離である。

よって

r² = (－3)² + 4² = 9+16 = 25

よって求める円の方程式は

(x+3)² + (y－4)² = 25 …（答）

 

円の方程式のまとめ

いかがでしたでしょうか？

ご参考になれましたら嬉しいです。

がんばれ、受験生！

 

この記事の執筆者

ニックネーム：受験のミカタ編集部

「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している「受験応援メディア」です。