【数Ⅱ】円の基本（円の方程式&円の接線）を完全マスター！公式と証明を丁寧に解説します！

数学 2024.3.25

円に関する問題は、基礎問題から三角関数を絡めた応用問題まで出題されるため、多くの大学で問題が扱われています。2015年度は、早稲田大学の社会科学部、東京大学の文系などで出題されました。今年度も多くの大学で出題される可能性があります。

そこで今回は、円のなかでも最も頻度が高い円の方程式と円の接線の公式、証明を紹介します。特に、円の接線の公式は覚えているか覚えていないかで解答スピードに大きな差が出ます。今回の記事でしっかりマスターしましょう！

【目次】

5. 練習問題

1. 円の方程式（公式）

円の方程式で覚えておかなくてはならないのが、以下の２つの式です。

【円の方程式】

中心(X, Y)=(A, B)で半径Rの円の方程式

(X－A)²+(Y－B)2=R²

円の一般式

X²+Y²+LX+MY+Z=0

※L²+M²－4M>0の時に限る

2. 円の方程式（証明）

証明は至ってシンプルです。

上図から分かるように、Rの長さは三平方の定理を使って・・

$R=\sqrt {(X-A)^2+(Y-B)^2}$

両辺を2乗すると・・

(X-A)^２+(Y-B)^２=R^２

一般形の方は、上の式を展開し、まとめたものです。

しかし、公式のところで記載しましたが、一つだけ条件(L^２+M^２-4N＞0)があります。それを証明します。

一般式を変形すると

$X^2+Y^2+LX+MY+N=(X+\frac{L}{2})^2+(Y+\frac{M}{2})^2-\frac{L^2}{4}-\frac{M^2}{4}+N=0$

$(X+\frac{L}{2})^2+(Y+\frac{M}{2})^2-\frac{L^2}{4}-\frac{M^2}{4}+N=0$

置き換えると・・

$(X+\frac{L}{2})^2+(Y+\frac{M}{2})^2=\frac{L^2}{4}+\frac{M^2}{4}-N$

$\frac{L^2}{4}+\frac{M^2}{4}-N=R^2>0$

だから $\frac{L^2}{4}+\frac{M^2}{4}-N>0$ → $L^2+M^2-4N>0$

どちらとも重要なので、円を見たら方程式が立てられるだけでなく、方程式を見たら、円がどのような円か分かるようにしましょう。

3. 円の接線（方程式）

円の接線の方程式も大切なので必ず覚えましょう。

円の接線の方程式

(X－A)²+(Y－B)2=R²の点(X₁, Y₁)の円の接線の方程式

(X₁－A)(X－A)+(Y₁－B)=R²

特に、中心が(0, 0)の円の接線の方程式

X₁X+Y₁Y = R²

4. 円の接線（証明）

少し、複雑ですが、数学的に大事な平行移動の考え方が含まれているので、是非最後まで目を通して理解しましょう。

円1：(X-A)^２+(Y-B)^２=R^２上の点N(X0,Y0)の接線が(X0-A)(X-A)+(Y0-B)(Y-B)=R^２になる事を証明します。

【方針】

(1)円２：X^２+Y^２=R^２上の点M(X1,Y1)の接線がX1X+Y1Y=R^２になる事を証明する。

(2)X^２+Y^２=R^２上の点M(X1,Y1)の接線をX0、Y0で置き換える。

(3)(2)をX方向にA、Y方向にB平行移動する。

【証明】

方針(1)

以下の３パターンに分けて証明します。

①Y1=0の時

これは、X=-R、Rの時の２つあります。

X1X+Y1Y=Rを満たします。

②X1=0の時

これは、Y=-R、Rの時の２つあります。

X1X+Y1Y=Rを満たします。

③X≠0、Y≠0の時（X軸Y軸上にない時）

接線は、原点を通るL（傾き $Y=\frac{Y1}{X1}$ )に垂直になるので傾きは

$-1\div \frac{Y1}{X1}=-\frac{X1}{Y1}$

接線はM(X1、Y1)を通るから

$Y=-\frac{X1}{Y1}(X-X1)+Y1$

展開すると・・

$X1X+Y1Y=X1^2+Y1^2$

X1、Y1は円上の点だから

$X1^2+Y1^2=R^2$

よって

$X1X+Y1Y=R^2$

これで、方針（１）は終了しました。

次は、方針(2)：X^２+Y^２=R^２上の点M(X1,Y1)の接線をX0、Y0で置き換えます。

方針(2)

円１は円２をX方向にA、Y方向にB平行移動したものなので

円１上の点N(X0,Y0)は

X0=X1+A⇔X1=X0-A

Y0=Y1+B⇔Y1=Y0-B

だから、円２の接線をX0,Y0で表すと

(X0-A)X+(Y0-B)Y=R^２になります。

最後に、方針(3)を行います。

あとは、(2)をX方向にA、Y方向にB平行移動するだけです。

(X0-A)X+(Y0-B)Y=R^２がX方向にA、Y方向にB平行移動するので

(X0-A)(X-A)+(Y0-B)(Y-B)=R^２

になります。

5. 練習問題

【解答】

公式に当てはめると

(4-2)(X-2)+(6-4)(X-4)=8

X-2+Y-4=4

X+Y=10

【公式を使わない場合】

中心Pから接点に向かう青い直線は接線と90°で交わっている。

まず、青い直線の傾きを求める。

傾きは、

$\frac{6-4}{4-2}=1$

よって接線の傾きは-1になる。

接線は(X,Y)=(4,6)を通るから

Y-6=-(X-4)

X+Y=10になる。

これは、接線の証明の方針(1)と同じ事をしていますので、圧倒的に公式を使った方が早いです。

公式は絶対に覚えましょう！

アンケートにご協力ください！【利用状況に関するアンケート】

※アンケート実施期間：2023年4月5日～

受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、受験のミカタの利用状況についてのアンケート調査を行っています。今回はアンケートに答えてくれた方から10名様に500円分の図書カードをプレゼントいたします。

受験生の勉強に役立つLINEスタンプ発売中！

ニックネーム：受験のミカタ編集部

「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している「受験応援メディア」です。

1. 円の方程式（公式）

2. 円の方程式（証明）

3. 円の接線（方程式）

4. 円の接線（証明）