５分で分かる！解と係数の関係を公式&問題で解説します！

数学 2024.3.18

解と係数の関係は、勉強が進んでいる受験生にとっては当たり前の公式です。まずは、公式を覚えて、最終的には問題を自力で解けるようにしましょう！

【目次】

1. 解と係数の関係（公式）

1. 解と係数の関係（公式）

解と係数の関係の公式は非常に重要なので、必ず覚えてください。

＜証明＞

まずは、解と係数の関係の証明をします。

AX^２+BX+C=0の解は、解の公式より

$X=\frac{-B\pm\sqrt {B^2-4AC}}{2A}$ になります。

だから、

$\alpha+\beta=\frac{-B+\sqrt {B^2-4AC}}{2A}+\frac{-B-\sqrt {B^2-4AC}}{2A}=-\frac{2B}{2A}=-\frac{B}{A}$

$\alpha\times\beta=\frac{-B+\sqrt {B^2-4AC}}{2A}\times\frac{-B-\sqrt {B^2-4AC}}{2A}=\frac{B^2-(B^2-4AC)}{(2A)^2}=\frac{4AC}{4A^2}=\frac{C}{A}$

になります。

次は二次式の因数分解を証明します。こちらも非常に簡単です。

$AX^2+BX+C=A(X^2+\frac{B}{A}X+\frac{C}{A})$
（解と係数の関係の $\alpha+\beta=-\frac{B}{A},\alpha\times\beta=\frac{C}{A}$ を代入して・・）

=A{X^２-(α+β)X+αβ}=A(X-α)(X-β)

AX^２+BX+C=A(X-α)(X-β)は、恒等式（忘れてしまった方は「
すらすら解ける！　恒等式・２つの解き方」をご覧ください。）
なので、Xにどんな数をを代入しても両辺が等しくなります。

解と係数の関係の問題は、最終的に、
$\alpha+\beta=-\frac{B}{A},\alpha\times\beta=\frac{C}{A}$

が使えるように持っていく事が大事です。

問題を解いてみましょう。

まずは、解と係数の関係でα+β,αβを求めます。

α+β=3 ,αβ=7

（１）α^２+β^２がα+β,αβだけで最終的に表せるように最終的に持っていきましょう。だからα^２+β^２=(α+β)^２-2αβ=9-14=-5になります。

（２）これも（１）と同様に解いていきます。α³+β³=(α+β)³-3αβ(α+β)=3³-3×7×3=-36

（３）これは、少し難しいです。

このまま ${(\alpha-3)}^4+{(\beta-3)}^4$ を展開しても、式が複雑になってしまうので、αー３＝A, βー3=Bに置き換えましょう。

A+B=(αー３)+(βー3)=α+β-6=-3

AB=(αー３)(βー３)＝αβ-3(α+β)+9=7-3×3+9=7

よって

${(\alpha-3)}^4+{(\beta-3)}^4=A^4+B^4=(A^2+B^2)^2-2 A^2 B^2 =( (A+B)^2-2AB )^2 -2 A^2 B^2=((-3)^2-2\times 7)^2 -2\times 7^2=(9-14)^2 -2\times 49=-73$

になります。

いかがですか？解と係数の関係は、この知識を知らないと解けない難関問題がたくさんありますので、絶対に覚えましょう！

※アンケート実施期間：2023年4月5日～

受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、受験のミカタの利用状況についてのアンケート調査を行っています。今回はアンケートに答えてくれた方から10名様に500円分の図書カードをプレゼントいたします。

「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している「受験応援メディア」です。