循環小数を分数にスラスラ変換できるようになる!問題付

数学 2016.10.14

循環小数とは何か、循環小数を分数に変換する方法について、数学が苦手な人でも理解できるように、現役の早稲田生が解説します。

この記事を読めば、循環小数についての理解ができ、スラスラと循環小数を分数に変換できるようになっているでしょう。

最後には、循環小数に関する練習問題も用意しているので、ぜひ最後までご覧ください。

【目次】

1:循環小数とは?

2:循環小数を分数に変換する方法

3:循環小数の練習問題

 

1:循環小数とは?

まずは循環小数とは何かについて解説します。

循環小数とは、「小数点以下の数字のかたまりが無限に繰り返される小数のこと」です。

循環少数の例を一つ紹介します。

循環小数の例:0.5656565656…

この小数は、小数点以下の「56」という数字のかたまりが無限に繰り返されている循環少数です。

この時、「0.56」の「56」の上に黒丸をつけることにより、例の循環小数を表すことができます。

循環小数の表し方

では、0.456456456…という循環小数はどう表すことができるでしょうか?

この場合は、4と6の上に黒丸をつけることで表すことができます。

循環小数の表し方

なぜ5の上には黒丸をつけなくていいのでしょうか?

循環小数で、2つ以上の数字のかたまりが繰り返されているときは、数字のかたまりの最初と最後の数字のみ黒丸をつけます。

(繰り返されている数字が一つの場合はその数字に黒丸をつけます。)

したがって、今回の場合は5の上には黒丸をつけなくていいのです。

以上が循環小数とは何かについての解説になります。

次の章では、循環小数を分数の形に変化する方法について解説していきます。

 

2:循環小数を分数に変換する方法

循環小数は、分数の形に直すことができます。

いくつか例を紹介していきます。

 

循環小数0.222…を分数に変換

例えば、0.22222…という循環小数を分数の形に直してみます。

まずはじめに、X=0.222222…とおいて10倍してみます。

そうすると10X=2,2222…になりますね。

なぜ、10倍したのかというと、小数点以下の循環する部分を計算で消去するためです。ここで連立方程式の形にしてみます。

10X=2,22222… ・・・①

X=0.2222222… ・・・②

①ー②より、

10XーX=2.22222… ー 0.22222…

よって、

9X=2

となるので、

X=2/9となります。

以上より、循環小数を分数に変換できました。

 

循環小数0.5656…を分数に変換

では、0.5656…という循環小数の場合はどうでしょうか?

まずはじめに、上の例と同様に

X=0.565656…とおいて、計算で小数点以下の循環する部分を消去するため100倍します。

100X=56.5656… ・・・①

X=0.5656… ・・・②

①ー②より、

100XーX=56.5656… ー 0.5656…

となるので、

99X=56

より、

X=56/99

以上より、循環小数0.5656…を分数に変換できました。

 

循環小数0.278278…を分数に変換

最後に、循環小数0.278278…の場合を考えてみます。

はじめに、上の例と同様に

X=0.278278…とおいて、計算で小数点以下の循環する部分を消去するため1000倍します。

1000X=278.278278… ・・・①

X=0.278278… ・・・②

①ー②より、

1000XーX=278.278278… ー 0.278278…

となるので、

999X=278

より、

X=278/999

以上より、循環小数0.278278…を分数に変換できました。

 

循環小数を分数に変換する方法の解説は以上になります。

次の章では、循環小数を分数に変換する問題をいくつかご用意しています。ぜひ解いてみてください。

 

3:循環小数の練習問題

では、循環小数を分数に変換する問題を解いてみましょう!3問用意しています♪

循環小数:問題①

循環小数1.444…を分数に変換せよ。

 

解答&解説

X=1.4444……とおいて10倍します。

すると、10X=14.444…ですね。

連立方程式の形に直して、

10X=14.444… ・・・①

X=0.444… ・・・②

①ー②より、

10XーX=14.444… ー 1.444…

なので、

9X=13より、

X=13/9・・・(答)

 

循環小数:問題②

循環小数0.7878…を分数に変換せよ。

 

解答&解説

X=0.7878…とおいて100倍します。

すると、100X=78.7878…ですね。

連立方程式の形に直して、

100X=78.7878… ・・・①

X=0.7878… ・・・②

①ー②より、

100XーX=78.7878…  ー 0.7878…

より、

99X=78

となるので、

X=78/99=26/33・・・(答)

約分することを忘れないようにしましょう!

 

循環小数:問題③

循環小数0.932093209320…を分数の形にせよ。

 

解答&解説

X=0.932093209320…とおいて10000倍します。

すると、10000X=9320.932093209320…ですね。

連立方程式の形に直して、

10000X=9320.93209320… ・・・①

X=0.93209320… ・・・②

①ー②より、

10000XーX=9320.93209320… ー 0.93209320…

なので、

9999X=9320

したがって、

X=9320/9999・・・(答)

 

いかがでしたか?

循環小数とは何か、循環小数を分数に変換する方法についてお分りいただけましたか?

特に、循環小数を分数に変換する作業は、数学の基本分野にあたります。必ずできるようにしておきましょう!


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