【三角関数:積和の公式&和積の公式】忘れていたら即クリック!

数学 2015.9.18

積和の公式&和積の公式はもちろん、加法定理から導く事は出来ますが、穴埋め問題などの時間との勝負の入試問題において、積和&和積を覚えているだけで、他の受験生よりも早く問題を解く事が出来ます。

是非、今回しっかりと覚えて使えるようにしてしまいましょう。

また、積和&和積はどのような問題で使えるのか疑問に思うかもしれません。有名な問題を一問出題しましたので、必ず解けるようにしましょう!

  1. 積和の公式&和積の公式を覚えよう
  2. 積和の公式&和積の公式 証明
    (1)積和の公式 証明
    (2)和積の公式 証明
  3. 積和の公式&和積の公式 問題

 

 

1. 積和の公式&和積の公式を覚えよう

積和の公式&和積の公式は、ごっちゃになってしまう場合があります。

一つ一つ覚えるのは大変なので、まず、積和の型と和積の型を覚えてしまい、あとは流れで覚えるのが得策です。

積和&和積

忘れたら、加法定理から自分で作って覚える事を繰り返しているうちに、徐々に覚えていくと思います。本番当日までに、武器として使えるようにしておきましょう。

 

2. 積和の公式&和積の公式 証明

三角関数の加法定理さえ覚えていれば、積和も和積も自分で作り出す事が出来ます。テスト中忘れてしまった時に、自分で導きだせるように、何度も練習しましょう。

加法定理

三角関数 積和 和積

 

 

 

(1)積和の公式 証明

①+②より

sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ

よって・・

sin\alpha cos\beta=\frac {sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)}{2}…⑤

①-②より

sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ

よって・・

cos\alpha sin\beta =\frac {sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\beta)}{2}…⑥

③+④より

cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ

よって・・

cos\alpha cos\beta =\frac {cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)}{2}…⑦

③-④より

cos(α+β)-cos(α-β)=2sinαsinβ

sin\alpha sin\beta =-\frac {cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)}{2}…⑧

 

(2)和積の公式 証明

和積の公式は、積和の公式から導きだします。

α+β=A、α-β=B

と置くと

\alpha=\frac{A+B}{2}

\beta=\frac{A-B}{2}…☆

になる。

sin\alpha cos\beta=\frac {sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)}{2}

に☆を代入すると

sinA+sinB=2sin \frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}

cos\alpha sin\beta =\frac {sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\beta)}{2}

に☆を代入すると

sinA-sinB=2cos \frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}

cos\alpha cos\beta =\frac {cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)}{2}

に☆を代入すると

cosA+cosB=2cos \frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}

sin\alpha sin\beta =-\frac {cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)}{2}

に☆を代入すると

cosA-cosB=-2sin \frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}

積和は、加法定理さえ覚えていれば、難なく作れると思いますが、和積はα+β=A、α-β=Bと置き換える事がポイントです。何度か解いてみて確実にマスターしましょう。

 

3. 積和の公式&和積の公式 問題

最後は和積を使うと格段に早く解けるようになる問題を一題出題します。

積和&和積 問題

 

【解答】

一見見た時、二倍角の公式や三倍角の公式を使いたくなります。

しかし!

この問題は和積の公式を使うとスムーズに解く事が出来ます。

sinθ+sin2θ+sin3θ=0

青の部分に和積の公式を使います。

和積の公式を使うと・・

2sin2θcosθ+sin2θ=0

sin2θ(2cosθ+1)=0

sin2θ=0もしくはcos \theta = \frac{1}{2}

また、問題文で強調して書きましたが、π≦θ≦2πであることも加味しなくてはいけません。

sin2θ=0の時

2π≦2θ≦4πなので

2θ=2π、3π、4π

\theta=\pi,\frac{3}{2}\pi,2\pi

cos \theta = \frac{1}{2}の時

\theta=\frac{4}{3}\pi

だから答えは・・

\theta=\pi,\frac{4}{3}\pi,\frac{3}{2}\pi,2\pi

になります。

今回は積和&和積の範囲なので、問題を見てすぐに使う事が出来たと思いますが、何もヒントがない状況でぱっと和積を使えるためには、公式がしっかりと頭の中にあるという事が必須です。

ぜひ、しっかりと頭の中に叩き込みましょう!