最小公倍数の求め方とは?数字が何個あっても計算できるやり方をわかりやすく解説!

数学 2017.6.22
最小公倍数の求め方とは?数字が何個あっても計算できるやり方をわかりやすく解説!

数学における最小公倍数の求め方について、早稲田大学に通う筆者が数学が苦手な生徒向けに丁寧に解説します。

スマホでも見やすいイラストを使いながら最小公倍数の求め方について解説します。

本記事を読めば、最小公倍数の意味(最小公倍数とは何か)、最小公倍数の求め方が理解できるでしょう。

また、最後には最小公倍数の計算問題も用意しております。

最後まで読んで、ぜひ最小公倍数をスラスラ求められるようになりましょう!

※最小公倍数と合わせて最大公約数の求め方も学習することをおすすめします。最大公約数について解説した記事もぜひご覧ください。

 

    1:最小公倍数の意味(最小公倍数とは?)

     

    まずは最小公倍数の意味(最小公倍数とは何か)から理解しましょう。

    すでに理解できている人は飛ばして大丈夫です。

    最小公倍数とは「2つ以上の正の整数に共通な倍数のうち最小のもの」のことを言います。

    例えば、18、24という2つの正の整数の最小公倍数を考えてみましょう。

    18の倍数は「18、36、54、72、90・・・」ですね。

    24の倍数は「24、48、72、96・・・」ですね。

    以上2つの共通な倍数のうち、最小のものは72ですね。

    よって18と24の最小公倍数は72になります。

    18と24の最小公倍数

    以上が最小公倍数の意味の解説です。

     

    補足:最大公約数の意味って?

    最小公倍数と似た言葉として、「最大公約数」というのがあります。

    簡単に解説しておくと、最大公約数とは「2つ以上の正の整数の共通な約数のうち最大のもの」のことを言います。

    では、先ほどと同様に18、24という2つの正の整数を考えてみます。

    18の約数は「1、2、3、6、9、18」ですね。

    24の倍数は「1、2、3、4、6、8、12、24」ですね。

    以上の2つの共通な約数のうち、最大のものは6ですね。

    18と24の最大公約数

    よって18と24の最大公約数は6になります。

    最小公倍数だけでなく、最大公約数の意味もしっかり理解しておきましょう!

    ※最大公約数を詳しく学習したい人は、最大公約数について解説した記事をご覧ください。

     

      2:最小公倍数の求め方(例題でよくわかる!)

       

      では、最小公倍数の求め方を学習していきましょう。

      先ほどのように、2つの数の倍数を順番に書き出しても良いのですが、それでは数が大きくなると対処できないのでそれはやめましょう!

      最小公倍数は、素因数分解を使用すれば簡単に求めることができます。

      ※素因数分解を忘れてしまった人は、素因数分解について詳しく解説した記事をご覧ください。

      例えば、XとYという2つの正の整数があるとします。

      そして、

      Xがpa×qb×rc

      Yがpd×qe×rf に素因数分解できたとします。

      ここで、X、Yのpの指数(aとd)qの指数(bとe)rの指数(cとf)にそれぞれ注目します。

      指数に注目

      最小公倍数は、aとd、bとe、cとfのそれぞれ大きい方を選んで、それらを掛け合わせることで求めることができます。

      以上が最小公倍数の求め方です。では、例題を1つ解いてみましょう!

       

      例題

      108と56の最小公倍数を求めよ。

      解答&解説

      まずは108と56を素因数分解しましょう。

      108 = 22 × 33

      56 = 23× 7

      ですね。

      ここで、右辺には「2の〇〇乗」、「3の〇〇乗」、「7の〇〇乗」が登場しました。

      そこで、右辺を「2、3、7の〇〇乗」で書き換えます。すると、

      108 = 22 × 33 × 70

      56 = 23 × 30 × 71

      となりますね。

      Aを整数とすると、A0=1、A1=Aであることに注意しましょう。

      そして、素因数分解できた2つの数字を並べます。

      素因数分解した2つの数

      そして、2の指数(2と3)3の指数(3と0)7の指数(0と1)の大小を比較して、大きい方を選んでそれらを掛け合わせます。

      108と56の最小公倍数

      すると、

      23 × 33 × 71 = 1512

      という結果が得られます。なので、108と56の最小公倍数は1512になります。

       

      補足:最大公約数も求めてみよう

      最小公倍数は素因数分解で得られた指数の大きい方を選んでそれらを掛け合わせました。

      最大公約数はその逆です。

      つまり、指数の小さい方を選んでそれらを掛け合わせます。

      では、先ほどと同様に108と56の最大公約数を求めてみましょう。

      108と56の最大公約数

      最大公約数は

      22 × 30 × 70

      = 4・・・(答)

      となります。

      ※最大公約数を詳しく学習したい人は、最大公約数について解説した記事をご覧ください。

       

      3:最小公倍数の計算問題

       

      最後に、3つの数の最小公倍数を求める計算問題を出題します。

      解き方は2つの数字の時と同じです!

      計算問題

      42、72、180の最小公倍数を求めよ。

      解答&解説

      まずは42、72、180を素因数分解します。

      42 = 21 × 31 × 50 × 71

      72 = 23 × 32 × 50 × 70

      180 = 22 × 32 × 51 × 70

      この時点で0乗や1乗も書いておきましょう!

      そして、指数の大きさを比べて、小さい方を掛け合わせれば良いのでした。

      今回は数字が3つなので、3つの指数の中で一番大きいものを選びます。

      42、72、180の最小公倍数

      よって、求める最小公倍数は

      23 × 32 × 51 × 71

      = 2520・・・(答)

      となります。

       

        最小公倍数の求め方のまとめ

        最小公倍数の求め方が理解できましたか?

        今回紹介した求め方ですと、どれだけ数字があっても簡単に最小公倍数を求められるので、ぜひマスターしておきましょう!

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        この記事の執筆者

        ニックネーム:やっすん

        早稲田大学商学部4年
        得意科目:数学