絶対値付き不等式の公式3つを図で即理解！応用問題付き！

絶対値を含む不等式の解き方について、慶応大学に通う筆者が丁寧に解説します。

数学が苦手な人でも絶対値を含む不等式の解き方が理解できるように、わかりやすく解説します。

絶対値を含む不等式では、まずは公式（のちに紹介）を覚えることが重要です！

本記事を読めば、絶対値を含む不等式の公式（３つあります）・解き方が理解できるでしょう。

最後には、絶対値を含む不等式の練習問題・応用問題も用意しています！

 

１：絶対値を含む不等式の公式

まずは絶対値を含む不等式の公式を覚えましょう！以下で紹介する公式はとても重要なので必ず覚えましょう！

a>0のとき

①|x|=aの解は、x=a、-a

②|x|<aの解は、-a<x<a

③|x|>aの解は、x<-a または a<x

以上で紹介した絶対値を含む不等式の公式３つは必ず覚えましょう！

 

２：絶対値を含む不等式の解き方その１

では、先ほどの絶対値を含む不等式の公式を踏まえて、例題を解いてみましょう。

問題

不等式|x|<15の解を求めよ。

解答＆解説

これは絶対値を含む不等式の公式②を使えば良いですね。

したがって、答えは

-15<x<15・・・（答）

となります。

 

３：絶対値を含む不等式の解き方その２

では、もう一つ絶対値を含む不等式の例題を解いてみましょう！

問題

不等式|x|>20の解を求めよ。

解答＆解説

これは絶対値を含む不等式の公式③を使えば良いです。

よって答えは

x<-20、20<x・・・（答）

となります。

 

４：絶対値を含む不等式の応用問題

最後に、絶対値を含む不等式の応用問題を３問用意しました。

もちろん丁寧な解答＆解説付きなので、ぜひ解いてください。

応用問題①

不等式|x+5|<20の解を求めよ。

解答＆解説

x+5をAと置き換えて不等式を解いてみると

|A|<20 と表すことができますね。

これを解くと、

-20<A<20（公式②より）

となり、ここでAをx+5に戻すと

-20<x+5<20

となるので、

-25<x<15・・・（答）

となります。

 

応用問題②

不等式|x-5|>35を解け

解答＆解説

応用問題①と同様に、x-5をAと置き換えて不等式を解いてみると

|A|>35 と表すことができますね。

よって、

A<-35 または 35<A（公式③より）

ここでAをx-5に戻すと

x-5<-35 または 35<x-5

となるので、

x<-30 または 40<x・・・（答）

となります。

 

応用問題③

不等式|x-|x+2||=5を解け

解答＆解説

最後の問題は少し難しいかもしれません。

まずはx+2が0以上のときと0未満のときで場合分けをします。

x+2≧0の時、つまり x≧-2 の時

|x+2|=x+2となるので

左辺

=|x-|x+2||

=|x-(x+2)|

=|x-x-2|

=2

右辺=5なので矛盾

よってx+2≧0ではない。

x+2＜0の時、つまりx＜-2 の時

|x+2|=-(x+2)となるので

左辺

=|x-|x+2||

=|x-{-(x+2)}|

=|x+x+2|

=|2x+2|

|2x+2|=5より、

2x+2=5または-5

したがって、

x=3/2または-7/2

x＜-2なので、

x=-7/2・・・（答）

となります。

不等式の応用問題では、置き換えが使えるかどうかをまずは検討してみましょう！

 

絶対値付き不等式のまとめ

絶対値を含む不等式の公式と解き方が理解できましたか？

絶対値を含む不等式には、難しい問題も登場したりします。

まずは必ず基礎をマスターすることから目指してください！

この記事の執筆者

ニックネーム：やっすん

早稲田大学商学部4年
得意科目：数学