【集合】必ず覚えなくてはならない6つの記号と3つの法則

数学 2015.10.9
【集合】必ず覚えなくてはならない6つの記号と3つの法則

集合は、数学の中でも特殊な分野で集合の記号が何を意味しているか分からなければ、試験で全く問題を解く事が出来ません。

しかし、記号さえ覚えてしまえば、簡単に解けてしまう問題が多いです。今回の記事では、集合の必ず覚えなくては成らない記号を6つ紹介します。

また、集合の分野では頻出の3つの法則があります。

ドモルガンは有名ですが、後の2つもよく出題されます。この機会にしっかり覚えましょう!

集合は、センター試験でも出題頻度があまり高くないですが、別の問題と絡めて出題されたりすることがあります。

しっかりと記号を覚えてさえいれば、そこまで難しいものではないので、是非今回マスターしてしまいましょう。

 

    1. 集合(必ず覚えたい6つの記号)

    覚えておかなければいけない記号が6つあります。表にまとめました。

    集合 記号集合

     

    それでは一つ一つ見ていきましょう。

     

    (1)a∈A(要素)

    aが集合Aの要素であるとき、a∈Aと表す。

    ex) A{1,2,3}の時

    集合①

    2∈A 2はAの要素である。

    「ヨウソ」のヨを左右逆にしたもの、と覚えましょう!

     

    (2)A⊂B(部分集合) 

    集合Aが集合Bに含まれているとき、A⊂Bと表す。

    ex) A{1,2,3}、B{1,2,3,4,5,6,7}の時

    集合③

    A⊂Bになる。

    部分集合の記号の覚え方

    このように、Bから手が生えてAを飲み込んでしまったから、AはBの部分集合と覚えましょう。

    (3)A∩C(共通部分)

    AとBの両方に属す要素全体の集合をA∩Cで表す。

    ここで、「∩」は英語で「Cap」つまり帽子という意味なので、帽子だけに)「被っている範囲」が∩だと覚えましょう。

     

    ex)A{1,2,3}

    C{2n+1| 0 ≦ n ≦ 4 :整数}(|以降は集合の範囲を示す。)

    集合④

    緑の部分がAとCの共通部分であり、A∩Cで表す。

    A∩Cは1,3である。

    3つ以上の集合の場合でも同じように表す。

    AB∩C、AB∩C∩D……

     

    (4)A∪C (和集合)

    AとBの最低一方に属す要素全体の集合をA∪Cで表す。

    「∪」は英語で「Cup」、つまりカップ(コップ)という意味です。
    そのため、A∪CはAとCをすべてコップに入れたものと覚えましょう。

     

    ex) A{1,2,3}

    C{2n+1| 0 ≦ n ≦ 4 :整数}

    集合④

     

    緑の部分がAとCの和集合である。

    ACは1,2,3,5,7,9である。

    3つ以上の集合の場合でも同じように表す。

     

    (5)Φ(空集合)

    一つも要素を持たない集合のことを空集合という。記号はΦ(ファイ)で表します。

    ex) A={1,2,3}
    D={4,5,6}

    集合⑤

    AとDの共通の集合はないので・・

    A∩D=Φと表現します。

    ちなみに、空集合はすべての集合の部分集合になります。

     

    (6)Aバー(補集合)

    集合Aに対して、全体集合に含まれる要素で、Aに属さない要素全体のことである。

    A={1,2,3}

    U = {1,2,3,4,5,6,7}

    集合④

    Aバーは全体に属しているが、Aには属していない要素の集合なので、

    Aバー=4,5,6,7になる。

     

      2. 集合(試験によく出る!3つの法則)

      集合で、ドモルガンの法則は有名ですが、2つの集合の和集合、3つの集合の和集合もよくセンター試験にでる分野です。是非、証明もついているので法則を覚えるだけでなく、図のイメージもしっかりと頭の中に入れてください。

       

      (1)ドモルガンの法則

      ドモルガンの法則 文字式

       

      ドモルガンの法則 証明】

      ①を証明する。

      ドモルガンの法則(左辺)

       

      ドモルガンの法則(右辺)

       

      ②も上記「必ずおぼえたい 6つの記号」を参照すれば必ず出来るので、自分で証明しましょう!

       

      (2)2つの集合の和集合

      n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

      和集合 2個

       

      【証明】

      n(A)=a+b

      n(B)=b+c

      n(A∩B)=b

      n(A∪B)=a+b+cだから・・

      n(A∪B)=a+b+c=(a+b)+(b+c)-b=n(A)+n(B)-n(A∩B)になる。

       

      (3)3つの集合の和集合

      n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)

      和集合

       

      【証明】

      (左辺)

      =n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)n(B∩C)n(C∩A)+n(ABC)

      =(a+d+e+g)+(b+e+f+g)+(c+d+f+g)-(e+g)-(f+g)-(d+g)+g

      =a+b+c+d+e+f+g=(右辺)

       

      集合のまとめ

      集合の基本を改めて確認しましょう。

      集合 記号集合

      これらの記号に苦手意識を持つ人も多いですが、逆に、これらを見て直感的に理解できるようになれば、集合はかなり楽に解けるはずです。

      この記事を読んで、しっかりマスターしましょう!

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      この記事の執筆者

      ニックネーム:受験のミカタ編集部

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