【集合】必ず覚えなくてはならない６つの記号と３つの法則

「集合の記号の意味が分からない……」「和集合ってどうやって求めるの？」など、集合の分野でつまずいている方も多いのではないでしょうか。

集合は数学Aの分野を取り扱う上で基礎となる考え方です。しかし記号と集合の範囲を覚えてしまえば、テストで間違えることはほとんどなくなるでしょう。

本記事では、6つの記号とそれぞれ集合の範囲、そして集合に使える3つの法則を分かりやすく解説しています。最後まで読んで集合をマスターしましょう。

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>1. 集合（必ず覚えたい6つの記号）

覚えておかなければいけない記号が６つあります。表にまとめました。

それでは一つ一つ見ていきましょう。

(1)a∈A（要素）

aが集合Aの要素であるとき、a∈Aと表す。

ex) A{1,2,3}の時

2∈A　2はAの要素である。

「ヨウソ」のヨを左右逆にしたもの、と覚えましょう！

(2)A⊂B（部分集合）

集合Aが集合Bに含まれているとき、A⊂Bと表す。

ex) A{1,2,3}、B{1,2,3,4,5,6,7}の時

A⊂Bになる。

このように、Bから手が生えてAを飲み込んでしまったから、AはBの部分集合と覚えましょう。

(3)A∩C（共通部分）

AとBの両方に属す要素全体の集合をA∩Cで表す。

ここで、「∩」は英語で「Cap」つまり帽子という意味なので、（帽子だけに）「被っている範囲」が∩だと覚えましょう。

ex)A{1,2,3}

C{2n+1| 0 ≦ n ≦ 4 :整数}(|以降は集合の範囲を示す。)

緑の部分がAとCの共通部分であり、A∩Cで表す。

A∩Cは1,3である。

3つ以上の集合の場合でも同じように表す。

A∩B∩C、A∩B∩C∩D……

(4)A∪C （和集合）

AとBの最低一方に属す要素全体の集合をA∪Cで表す。

「∪」は英語で「Cup」、つまりカップ（コップ）という意味です。
そのため、A∪CはAとCをすべてコップに入れたものと覚えましょう。

ex) A{1,2,3}

C{2n+1| 0 ≦ n ≦ 4 :整数}

緑の部分がAとCの和集合である。

A∪Cは1,2,3,5,7,9である。

3つ以上の集合の場合でも同じように表す。

(5)Φ（空集合）

一つも要素を持たない集合のことを空集合という。記号はΦ（ファイ）で表します。

ex) Ａ＝｛１,２,３｝
D＝｛４,５,６｝

AとDの共通の集合はないので・・

A∩D=Φと表現します。

ちなみに、空集合はすべての集合の部分集合になります。

(6)（補集合）

集合Aに対して、全体集合に含まれる要素で、Aに属さない要素全体のことである。

Ａ＝｛１,２,３｝

U = {1,2,3,4,5,6,7}

は全体に属しているが、Aには属していない要素の集合なので、

=4,5,6,7になる。

2. 集合（試験によく出る！３つの法則）

集合で、ドモルガンの法則は有名ですが、２つの集合の和集合、３つの集合の和集合もよくセンター試験にでる分野です。是非、証明もついているので法則を覚えるだけでなく、図のイメージもしっかりと頭の中に入れてください。

(1)ドモルガンの法則

【ドモルガンの法則　証明】

①を証明する。

②も上記「必ずおぼえたい　６つの記号」を参照すれば必ず出来るので、自分で証明しましょう！

(2)２つの集合の和集合

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

【証明】

n(A)=a+b

n(B)=b+c

n(A∩B)=b

n(A∪B)=a+b+cだから・・

n(A∪B)=a+b+c=(a+b)+(b+c)-b=n(A)+n(B)-n(A∩B)になる。

(3)３つの集合の和集合

n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)

<>【証明】</>

(左辺)

=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)–n(B∩C)–n(C∩A)+n(A∩B∩C)

=(a+d+e+g)+(b+e+f+g)+(c+d+f+g)-(e+g)-(f+g)-(d+g)+g

=a+b+c+d+e+f+g=（右辺）

集合のまとめ

集合の基本を改めて確認しましょう。

これらの記号に苦手意識を持つ人も多いですが、逆に、これらを見て直感的に理解できるようになれば、集合はかなり楽に解けるはずです。

この記事を読んで、しっかりマスターしましょう！

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この記事の執筆者

ニックネーム：受験のミカタ編集部

「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している「受験応援メディア」です。