「PとCのどっちを使えば良いか分からない。」「順列と組み合わせがごっちゃになってしまう。」

しかし・・

組み合わせと順列の違いは決して難しくはありません！今回の記事では、順列と組み合わせをそれぞれしっかりと理解し、試験中に２つのどちらを使うかが迷わないで解けるよう１から丁寧に紹介します。

→順列の理解に役立つ記事まとめはコチラ！

 

1. 順列と組み合わせの違い

「５人の中から２人並べる。」

「５人の中から２人選ぶ。」

この２つの違いは分かりますか？分かる方は「2.順列　公式」に進んでしまって構いません。

順列と組み合わせを考えるとき、ごっちゃになってしまう人がいます。

まず、簡単に組み合わせと順列の違いを紹介します。

 

1-1. 順列とは？

異なるn個の中から異なるr個を取り出して１列に並べる数のことです。

５人(A、B、C、D、E)の中から２人を並べる場合を考えましょう。

すると、並べ方はAB、BA、AC、CA、DE、ED…のようになります。全部数え上げれば分かるのですが、合計は20通りになります。ここで、ABとBAを違うものとして考えることがポイントです。

ちなみに順列は記号Pで表します。

 

1-2. 組み合わせとは？

異なるn個の中から異なるr個とる組み合わせの数のことです。

５人(A、B、C、D、E)の中から２人を選ぶ組み合わせを考えましょう。

この時、{AB}、{CD}、{AC}…のようになり、合計は10通りになります。ここでなぜ、順列の総数の半分になるのかというと、{AB}と{BA}のチームも結局は同じチームですよね。だから、これを組み合わせは１つと計算するからです。

ちなみに組み合わせは記号Cで表します。

それでは、順列、組み合わせの公式を見ていきましょう。

 

2. 順列（公式）

まずは、公式を覚えましょう。

！は階乗と読み、1~nまでの積を表したいときはn!、1~32までの積を表したいときは32!のように表します。

【解説】

公式を証明します。

１番目の選び方はが、n通り

２番目の選び方は、n-1通り

３番目の選び方は、n-2通り

同様にすると・・

r番目の選び方は、n-r+1

だから、「積の法則」（積の法則が分からない方は「場合の数基礎1　和の法則&積の法則大事な２パターン」を参照してください。）より、

になります。

 

順列（練習問題）

それでは、例題を1題出題します。

上記問題はセンター試験や小問でまんま出題されるくらい典型的な問題です。(2)や(3)は1度目では、なかなか解法が思いつかないかもしれません。間違えた方はもう一度解き直してマスターしてしまってください！

 

3. 組み合わせ（公式）

まずは、公式を覚えましょう。

【解説】

５人（A、B、C、D、E）の中から3人を選ぶ場合を考えます。

まずは順列を考えましょう。５人の中から３人を並べる場合です。

総数は、さきほどやったようにになります。

このうち、{A、B、C}、{A、C、B}、{B、C、A}、{B、A、C}、{C、A、B}、{C、B、A}は組み合わせ１つと考えます。

つまり、１つの組み合わせはの並べ方があることが分かります。

ですので、組み合わせの総数は・・

10通りになることが分かります。

ここでもしかしてピンときたら鋭いですが、章1の「順列と組み合わせの違い」の「５人の中から２人を選ぶ組み合わせの数」と今回の答えが一致しました。

組み合わせのCには以下の性質があります。

少し難しい問題になると、この転換が必要になることがあります。是非、覚えておきましょう。

 

組み合わせ（練習問題）

最後に問題を１題出題します。

(1)組み合わせの公式を使うと・・

=56通りになります。

 

(2)組み合わせ問題において「少なくとも１人（１つ）〜」を求めるときは、組み合わせの総数から1人（１つ）もない場合を引く事でもとめる場合が多いです。

組み合わせの総数は(1)で求めたので、今回は男子だけを３人選ぶときを考えます。

=20通りになります。

よって女子を少なくとも１人選ぶ場合は・・

56 – 20 =36通りになります。

 

(3)順列と組み合わせを混ぜた問題です。といっても公式を使えばすぐに解けてしまいます。

男子の選び方：通り

女子の選び方：通り

この３人を並べるので

だから、合計は・・

××=180通りになります。

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