【数A】順列Pの公式・組み合わせとの違い、使い分け方を解説!例題あり

数学 2022.8.9
【数A】順列Pの公式・組み合わせとの違い、使い分け方を解説!例題あり

「順列Pと組み合わせCがごっちゃになってしまう。」PCのどっちを使えば良いか分からない。」

とお悩みの方も多いでしょう。しかし・・

組み合わせと順列の違いは決して難しくはありません!今回の記事では、順列と組み合わせをしっかりと理解し、試験中にどちらを使うかが迷わないで解けるよう1から丁寧に紹介します。

→順列の理解に役立つ記事まとめはコチラ!

 

    1. 順列と組み合わせの違い

    「5人の中から2人並べる。」

    「5人の中から2人選ぶ。」

    この2つの違いは分かりますか?分かる方は「2.順列の公式を解説!」に進んでしまって構いません。

    順列と組み合わせの違いを簡単に説明すると、選んだものの並び順を考えるかどうかです。順列は並び順を考慮しますが、組み合わせは並び順を考慮しません。

    この組み合わせと順列の違いについて、以下でさらに詳しく解説します。

    1-1. 順列(P)とは?

    異なるn個の中から異なるr個を取り出して1列に並べる数のことです。

    順列の総数は、nPrで表されます。

    5人(A、B、C、D、E)の中から2人を並べる場合を考えましょう。

    すると、並べ方はAB、BA、AC、CA、DE、ED…のようになります。全部数え上げれば分かるのですが、合計は20通りになります。ここで、ABとBAを違うものとして考えることがポイントです。

    1-2. 組み合わせ(C)とは?

    異なるn個の中から異なるr個を取り出す組み合わせの数のことです。

    組み合わせの総数は、nCrで表されます。

    5人(A、B、C、D、E)の中から2人を選ぶ組み合わせを考えましょう。

    この時、{AB}、{CD}、{AC}…のようになり、合計は10通りになります。ここでなぜ、順列の総数の半分になるのかというと、{AB}と{BA}のチームも結局は同じチームだからです。組み合わせでは、これをまとめて1つと計算します。

    それでは、順列、組み合わせの公式を見ていきましょう。

      2. 順列の公式を解説!

      まずは、公式を覚えましょう。

      テンプレ_順列

      は階乗と読み、1~nまでの積を表したいときはn!1~32までの積を表したいときは32!のように表します。

      【解説】

      公式を証明します。

      1番目の選び方はが、n通り

      2番目の選び方は、n-1通り

      3番目の選び方は、n-2通り

      同様にすると・・

      r番目の選び方は、n-r+1

      だから、「積の法則」(積の法則が分からない方は「場合の数基礎1 和の法則&積の法則大事な2パターン」を参照してください。)より、

      順列 公式 証明

      になります。

      3.順列を使った実戦問題を解いてみよう

      それでは、例題を1題出題します。

      順列 問題①

      どの問いも「並び方は何通りか」を聞いているので、並び順を考慮する順列P” を用いて導き出します。

      順列

      上記問題はセンター試験や小問でそのまま出題されるくらい典型的な問題です。(2)や(3)は1度目では、なかなか解法が思いつかないかもしれません。間違えた方はもう一度解き直してマスターしてください!

        4. 組み合わせの公式を解説!

        まずは、公式を覚えましょう。

        テンプレ_公式

        【解説】

        5人(A、B、C、D、E)の中から3人を選ぶ場合を考えます。

        まずは順列を考えましょう。5人の中から3人を並べる場合です。

        総数は、さきほど解説したように記号一覧になります。

        このうち、{A、B、C}、{A、C、B}、{B、C、A}、{B、A、C}、{C、A、B}、{C、B、A}は組み合わせ1つと考えます。

        つまり、1つの組み合わせは記号一覧の並べ方があることが分かります。

        ですので、組み合わせの総数は・・

        組み合わせ

        10通りになることが分かります。

        ここでもしかしてピンときたら鋭いですが、「1.順列と組み合わせの違い」の「5人の中から2人を選ぶ組み合わせの数」と今回の答えが一致しました。

        また、組み合わせのCには以下の性質があります。

        組み合わせ

        少し難しい問題になると、この転換が必要になることがあります。是非、覚えておきましょう。

          組み合わせを使った実戦問題を解いてみよう

          最後に問題を1題出題します。

          組み合わせ 問題

          (1)組み合わせの公式を使うと・・

          組み合わせ 記号=56通りになります。

          (2)こちらも選び方を聞かれているので、並び順を考慮しない 組み合わせC” の問題になります。

          組み合わせ問題において「少なくとも1人(1つ)〜」を求めるときは、組み合わせの総数から1人(1つ)もない場合を引くことで求める場合が多いです。

          組み合わせの総数は(1)で求めたので、今回は男子だけを3人選ぶときを考えます。

          組み合わせ 記号=20通りになります。

          よって女子を少なくとも1人選ぶ場合は・・

          56 – 20 =36通りになります。

          (3)順列と組み合わせを混ぜた問題です。といっても公式を使えばすぐに解けてしまいます。

          まずは誰を並べるかを選びます。選び方なので組み合わせC” を用いて求めます。

          男子の選び方:組み合わせ2通り

          女子の選び方:組み合わせ3通り

          次にこの3人を並べるので、”順列P” を用いて、組み合わせ3

          だから、合計は・・

          組み合わせ2×組み合わせ3×組み合わせ3=180通りになります。

          →順列の理解に役立つ記事まとめはコチラ!

            6.順列と組み合わせのまとめ

            順列にも組み合わせの問題にも解法にはいくつかのパターンがあります。解いたらその問題で終わるのではなく、次に出る類似問題でも応用出来るように考え方の部分はしっかりと理解しておきましょう!

             

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            この記事の執筆者

            ニックネーム:受験のミカタ編集部

            「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している「受験応援メディア」です。