重複順列とは?基本公式と解き方を解説!

数学 2018.12.7

高校に入学をして、最初の方で習うのが重複順列です。
難易度もそこまで高くないので、しっかりと基礎と公式を押さえておけば解き方も難しくありません。
ただ、重複順列の問題で気をつけておきたいのが、問題に出される日本語です。
しっかりと文章の意味を理解していないと、引っかかる問題が多いので注意しましょう。

1.順列とは?

重複順列を学習する前に、より理解を深めるために順列のおさらいをしておきましょう。
順列に関する記事についてはこちらもご覧ください。

順列とは文字や記号などに順番につけて、1列にならべたものを言います。
代表的な問題の例として、「1・2・3・4という数字から異なる2つを使って2桁の数字を作ると何通りできるか?」といった形式のものが挙げられます。

上記の問題を使って考えると、作る数字は2桁の数字ですから、10の位で選べるのは4つの数字になります。
そして当然ながら、次の1の位では10の位で選んだ数字が使えませんから、選べる数字は残る3種類となります。
つまり、4種類の数字と3種類の数字で2桁の数字を作ることが出来ます。

よって

4×3=12通り

が正解です。
これを普遍的な文字に置き換えてみましょう。
「n個のものから異なるr個を取り出して並べる」となります。

この並べ方は先ほどの数字の例のように考えると、r桁目がn通り、(r-1)桁目が(n-1)通り、・・・、1桁目が(n-r+1)通りあるので
n(n-1)・・・(n-r+1)通りの並べ方があり、数学では

nPr= n(n-1)・・・(n-r+1)

と表すことが出来ますね。ここから、nから1つずつ引いた数をr個かけ合わせればよいという解釈が出来ます。先ほどの例で言えば、n=4でr=2となります。
なので、4から1つずつ引いた数を2個かけ合わせればよいので、答えは

4×3=12

となります。

ただし出題のされ方によっては、公式に計算するだけでは解けない問題もありますので、練習問題をこなしていきましょう。

先ほどと似た形式の問題です。ぜひ考えてみてください。

問題:0・1・2・3・4・5の数字から異なる4つをならべると、4桁の5の倍数はいくつできるか?

 

この場合、いくつかの制約がついているのがポイントです。
4桁を作るとして、頭になる1000の位に0は持ってこられません。

 

そして、5の倍数を作るためには1の位が0か5でないといけないので、1000の位に使えるのは1から4までの4通りです。

1の位は0と5の2通り、100の位は4通り、10の位が3通りになります。

つまり、4×2×4×3で計算をした96通りが正解としたいところですが、まだ計算をしなくてはいけません。
それは1000の位が5の場合ですね。

この時、1の位に使えるのは0だけなので1通り、100の位は4通りで10の位は3通りあります。

1×1×4×3=12

結果、96通りに12通りを足した108通りが正解になるのです。
このように工夫がいることも多いので、問題をよく読むことが大切になります。

2.重複順列とはどんなもの?

順列のおさらいをしましたので、重複順列に話を進めます。
順列と重複順列の大きな違いは、重複が許されるかどうかです。

順列ではn個の中から異なるr個を選んでいました。

しかし、重複順列では重複したr個を選ぶものになります。

分かりやすく言い換えると、同じものをいくつ選んでもいいということですね。
同じく数字を使った例題を出してみましょう。
1・2・3の数字を使って4桁の整数を作ります。

この時に同じ数字を重複してもよく、使っていない数字があってもいいとしてください。
この場合、0を含んでいませんから1000の位は3通り、同じ数字を使ってもいいので100の位、10の位、1の位のすべてが3通りになります。

順列では異なる数字を使う必要があったので、1000の位で使ったものは使えませんでした。
しかし、重複順列では同じ数字が使えるので、3通りの使い道があるのです。
つまり、

3×3×3×3=81通りが正解

になります。
数学的な公式にすると

n

という形です。
とてもシンプルな形になりますが、重複順列でも順列と同じように出題のされ方によって、工夫をしなくてはいけません。

3.重複順列の例題

それでは、実際に重複順列の例題を解いて慣れていきましょう。
問題1:異なる5つのボールをAとBの2つの箱に分ける方法は何通りあるか?

 

解答:公式にあてはめると2^5です。
つまり32通りが正解となると、考えてしまうかもしれません。
ただここで注意すべきなのが、すべてのボールがAもしくはBのどちらかに偏るパターンがあることです。
つまり、32通りから2通り分を差し引かないといけません。

 

よって、

32-2=30通り

が正解になります。

さらに例題です。

問題2:5人を2つのグループに分けると何通りあるか。

 

解答:前の問題通りだと考えると、25=32から2通りを引いて30通りになります。
しかし、この例題におけるポイントはAとBの2つの箱にわけるのではなく、2つのグループに分けるとありました。

この場合に区別の指定がありません。

つまり、先に求めた30通りという数字は、グループに区別がついている時の数字で、区別がない時は重複している分は省かないといけないのです。
その場合、30通りを2で割ることで答えがでます。
結果、

この例題における答えは15通り

になるのです。
異なるn個のものを区別できる2つのグループに組分けする場合を式にしてみると、

2n-1-1

=2n-2

となります。
この組合せの問題は、しっかりと理解しておく必要があります。

他に重複順列で良くある例題とされるのが、部分集合です。

例えば集合{1.2}の部分集合はいくつあるのかといった問題です。

ここで間違いやすいのが、集合の認識でしょう。

部分集合となるのをまとめてみますと、{1}{2}{1.2}となる3つと考えてしまう人が多いのです。
しかし、部分集合にはなにも存在しない空集合(∅)も含まれます。
数字で言えば0にあたるものです。
空集合は必ず部分集合に含まれますので、忘れないようにしておきましょう。

つまり、{1.2}の部分集合では先の3つとあわせる必要があるので、

4通りが正解になります。

4通りは22と変換できますから、公式そのままの回答です。
空集合が含まれていることは、しっかりと覚えておきましょう。

 

4.重複順列のまとめ

重複順列はnrという簡単な公式で総数を求められます。

しかし、機械的に暗記をしていると、問題によってはどちらをnとするのかrとするのかを迷うことがあるのです。
例えば3人の子どもに5つのお菓子を配るとします。

この時に1つもお菓子をもらえない子どもがいてもいいとした場合は、何通りあるでしょうか。
この時にnとなるのが子どもの数である3で、rになるのが5個のお菓子です。
つまり

35=243通りが正解になります。

このように見分け方としては数字の混同にさえ気をつけておけば重複縦列は特に難しい計算ではありません。
あとは計算ミスなどのケアレスミスにだけ、注意しておくと問題を落とすことはないでしょう。
また出題される時の日本語に注意しておくのも、順列なのか組分けなのかを判別するポイントです。

 

5.さいごに

今回は重複順列について考えてみました。
基本的な公式はnrと、とてもシンプルなものです。

ただ組分けをする場合をしっかりと認識しておかないといけません。

ややこしい部分もありますが落ち着いて考えれば難しくないのでしっかり復習しましょう!
がんばれ、受験生!

 


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この記事の執筆者

ニックネーム:受験のミカタ編集部

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