sin・cos・tanとは?図で一目でわかる!超重要な公式も紹介!

数学 2017.4.4

高校数学のメインの1つである三角関数。

三角関数の基本がsin(サイン)・cos(コサイン)・tan(タンジェント)です。

今回は三角関数を学習し始めたばかりの人がsin・cos・tanとは何かを理解できるように解説していきます。

慶応大学に通う筆者がsin・cos・tanについてスマホでも見やすいイラストで丁寧に解説していきます。

本記事を読めば、数学が苦手な人でもsin・cos・tanが理解できるでしょう。

【 目次 】

1:sin(サイン)とは?

2:cos(コサイン)とは?

3:tan(タンジェント)とは?

4:必ず覚えよう!sin・cos・tanの重要公式3つ

5:sin・cos・tanに関する練習問題

 

1:sin(サイン)とは?

まずはsinから解説していきます。

sinとは、下図のような直角三角形ABCにおいて、AC/ABのことです。

sin(サイン)とは何か

※sin・cos・tanを考えるときの三角形は必ず直角三角形です。

具体例を1つ考えてみましょう。

例えば、∠B=30°の直角三角形を考えてみます。

∠B=30°の直角三角形

すると、直角三角形の辺の比は、

AC:AB:BC=1:2:√3

ですね。

直角三角形の辺の比

よって、

sinB

= AC/AB

= 1/2

となります。

今回は辺の比で考えましたが、具体的な辺の長さでも考えることができます。

例えば、以下のようにAB=5、AC=4、BC=3の直角三角形の場合を考えてみましょう。

AB=5、AC=4、BC=3の直角三角形

すると、

sinB

= AC/AB

= 4/5

となります。辺の比・辺の長さ両方からsinの値は求めることができます。(cos・tanも同様)

 

2:cos(コサイン)とは?

次はcosを学習しましょう。

cosとは、下図のような直角三角形ABCにおいて、BC/ABのことです。

cos(コサイン)とは何か

では、具体例を見てみましょう。

先ほどと同様に∠B=30°の直角三角形を考えてみます。

∠B=30°の直角三角形

cosBはBC/ABなので、

cosB = √3/2

となります。

今回は辺の比からcosを求めましたが、もちろんsinと同様に具体的な辺の長さからcosを求めることもできます。

 

3:tan(タンジェント)とは?

最後はtanについてです。

tanとは、下図のような直角三角形ABCにおいて、AC/BCのことです。

tan(タンジェント)とは何か

では、先ほどと同様に∠B=30°の直角三角形のtanBを求めてみます。

∠B=30°の直角三角形

tanB = AC/BCより、

1/√3

となります。

tanでも、もちろん辺の比だけでなく具体的な辺の長さからtanを求めることができます。

 

4:必ず覚えよう!sin・cos・tanの重要公式3つ

sin・cos・tanの間には重要な公式があります。

三角関数の分野ではこれから頻繁に使うことになるので、必ずこれから紹介する公式は暗記しておきましょう!

公式その1

公式の1つ目は、

sin2θ + cos2θ = 1

です。

つまり、下の図のような直角三角形を考えたとき、sinθの2乗とcosθの2乗を足すと1になるということです。

sin2θ + cos2θ = 1

※三角関数では、sinθの2乗は「sinθ2」と書かずに「sin2θ」と書きます。cos・tanでも同様です。

では、先ほどから使っている∠B=30°の直角三角形で考えてみます。

∠B=30°の直角三角形

sinB = 1/2ですね。

cosB = √3/2です。

したがって、

sin2B = 1/4

cos2B = 3/4

です。

よって、

sin2B + cos2B

= 1/4 + 3/4

= 1

となり、しっかり1になっていることが確認できます。

 

公式その2

公式2つ目は、

tanθ = sinθ/cosθ

です。

では、∠B=30°の直角三角形で考えてみましょう。

∠B=30°の直角三角形

sinB = 1/2

cosB = √3/2

tanB = 1/√3ですね。

ここで、sinB/cosBを考えてみると、

(1/2)/(√3/2)

= 1/√3

となり、しっかりtanBの値と同じになっています。

 

公式その3

最後の公式は少し複雑ですが、頑張って覚えましょう。

1 + tan2θ = 1/cos2θ

では、おなじみ∠B=30°の直角三角形で考えます。

∠B=30°の直角三角形

今回の公式ではsinを使わないので、cosとtanだけ求めます。

cosB = √3/2

tanB = 1/√3

ですね。

公式の左辺に当てはめると、

1 + (1/√3)2

= 1 + 1/3

= 4/3・・・①

ですね。

公式の右辺に当てはめると、

1 / (√3/2)2

= 1 / (3/4)

= 4/3・・・②

①=②になっていることが確認できたと思います。

以上で紹介したsin・cos・tanに関する公式は三角関数の分野では頻繁に使います。

必ず覚えましょう!

 

5:sin・cos・tanに関する練習問題

最後に、sin・cos・tanに関する練習問題を紹介します。

もちろん詳しい解答&解説付きです。

sin・cos・tanは三角関数の基礎なので、以下の問題は必ず解けるようにしておきましょう!

問題その1

以下のような直角三角形ABCがあるとき、sinθ、cosθ、tanθの値を求めよ。

直角三角形ABC

解答&解説

sinθ=AC/ABなので、

sinθ=12/13・・・(答)

cosθ=BC/ABなので、

cosθ=5/13・・・(答)

tanθ=AC/BCなので、

tanθ=12/5・・・(答)

となります。

補足:tanθを求める別解

本記事の「4:必ず覚えよう!sin・cos・tanの重要公式3つ」でも紹介した通り、tanθ=sinθ/cosθなので、sinθとcosθを求めてから、

tanθ

=(12/13)/(5/13)

=12/5・・・(答)

としてtanθを求めることもできます。

 

問題その2

cos2θ=25/29のとき、tanθの値を求めよ。

解答&解説

本記事で学習した公式その3

1 + tan2θ = 1/cos2θ

を使いましょう!

cos2θ=25/29なので、

1+tan2θ=29/25

となりますね。

よって、

tan2θ=4/25

となるので、

tanθ=2/5、-2/5・・・(答)

となります。

 

いかがでしたか?

三角関数のsin・cos・tanが理解できましたか?

繰り返しになりますが、sin・cos・tanは三角関数の分野の基本です。必ず理解しておきましょう!


アンケートにご協力ください!

受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、中高生の学習事情についてのアンケート調査を行っています。

スマホからでも解答しやすく、4問選択式の簡単なアンケートですので、ぜひ皆様ご協力お願いします!

アンケートに答える