三角関数のsin・cos・tanとは?図解ですぐわかる!超重要な公式と練習問題も

数学 2017.4.4
三角関数のsin・cos・tanとは?図解ですぐわかる!超重要な公式と練習問題も

高校数学のメインの1つである三角関数。

三角関数の基本がsin(サイン)・cos(コサイン)・tan(タンジェント)です。

今回は三角関数を学習し始めたばかりの人がsin・cos・tanとは何かを理解できるように解説していきます。

早稲田大学に通う筆者がsin・cos・tanについてスマホでも見やすいイラストで丁寧に解説していきます。

本記事を読めば、数学が苦手な人でもsin・cos・tanが理解できるでしょう。

三角関数の基本的な理解に役立つ記事のまとめもぜひ参考にしてみてください!

 

 

    【三角関数の基礎①】sin(サイン)とは?

    まずはsinから解説していきます。

    sinとは、下図のような直角三角形ABCにおいて、AC/ABのことです。

    sin(サイン)とは何か

    ※sin・cos・tanを考えるときの三角形は必ず直角三角形です。

    具体例を1つ考えてみましょう。

    例えば、∠B=30°の直角三角形を考えてみます。

    ∠B=30°の直角三角形

    すると、直角三角形の辺の比は、

    AC:AB:BC=1:2:√3

    ですね。

    直角三角形の辺の比

    よって、

    sinB

    = AC/AB

    = 1/2

    となります。

    今回は辺の比で考えましたが、具体的な辺の長さでも考えることができます。

    例えば、以下のようにAB=5、AC=4、BC=3の直角三角形の場合を考えてみましょう。

    AB=5、AC=4、BC=3の直角三角形

    すると、

    sinB

    = AC/AB

    = 4/5

    となります。辺の比・辺の長さ両方からsinの値は求めることができます。(cos・tanも同様)

     

      【三角関数の基礎②】cos(コサイン)とは?

      次はcosを学習しましょう。

      cosとは、下図のような直角三角形ABCにおいて、BC/ABのことです。

      cos(コサイン)とは何か

      では、具体例を見てみましょう。

      先ほどと同様に∠B=30°の直角三角形を考えてみます。

      ∠B=30°の直角三角形

      cosBはBC/ABなので、

      cosB = √3/2

      となります。

      今回は辺の比からcosを求めましたが、もちろんsinと同様に具体的な辺の長さからcosを求めることもできます。

       

      【三角関数の基礎③】tan(タンジェント)とは?

      最後はtanについてです。

      tanとは、下図のような直角三角形ABCにおいて、AC/BCのことです。

      tan(タンジェント)とは何か

      では、先ほどと同様に∠B=30°の直角三角形のtanBを求めてみます。

      ∠B=30°の直角三角形

      tanB = AC/BCより、

      1/√3

      となります。

      tanでも、もちろん辺の比だけでなく具体的な辺の長さからtanを求めることができます。

       

        【三角関数の基礎④】必ず覚えよう!sin・cos・tanの重要公式3つ

        sin・cos・tanの間には重要な公式があります。

        三角関数の分野ではこれから頻繁に使うことになるので、必ずこれから紹介する公式は暗記しておきましょう!

        三角関数の公式その1

        公式の1つ目は、

        sin2θ + cos2θ = 1

        です。

        つまり、下の図のような直角三角形を考えたとき、sinθの2乗とcosθの2乗を足すと1になるということです。

        sin2θ + cos2θ = 1

        ※三角関数では、sinθの2乗は「sinθ2」と書かずに「sin2θ」と書きます。cos・tanでも同様です。

        では、先ほどから使っている∠B=30°の直角三角形で考えてみます。

        ∠B=30°の直角三角形

        sinB = 1/2ですね。

        cosB = √3/2です。

        したがって、

        sin2B = 1/4

        cos2B = 3/4

        です。

        よって、

        sin2B + cos2B

        = 1/4 + 3/4

        = 1

        となり、しっかり1になっていることが確認できます。

         

        三角関数の公式その2

        公式2つ目は、

        tanθ = sinθ/cosθ

        です。

        では、∠B=30°の直角三角形で考えてみましょう。

        ∠B=30°の直角三角形

        sinB = 1/2

        cosB = √3/2

        tanB = 1/√3ですね。

        ここで、sinB/cosBを考えてみると、

        (1/2)/(√3/2)

        = 1/√3

        となり、しっかりtanBの値と同じになっています。

         

        三角関数の公式その3

        最後の公式は少し複雑ですが、頑張って覚えましょう。

        1 + tan2θ = 1/cos2θ

        では、おなじみ∠B=30°の直角三角形で考えます。

        ∠B=30°の直角三角形

        今回の公式ではsinを使わないので、cosとtanだけ求めます。

        cosB = √3/2

        tanB = 1/√3

        ですね。

        公式の左辺に当てはめると、

        1 + (1/√3)2

        = 1 + 1/3

        = 4/3・・・①

        ですね。

        公式の右辺に当てはめると、

        1 / (√3/2)2

        = 1 / (3/4)

        = 4/3・・・②

        ①=②になっていることが確認できたと思います。

        以上で紹介したsin・cos・tanに関する公式は三角関数の分野では頻繁に使います。

        必ず覚えましょう!

         

          【三角関数の基礎⑤】sin・cos・tanに関する練習問題

          最後に、sin・cos・tanに関する練習問題を紹介します。

          もちろん詳しい解答&解説付きです。

          sin・cos・tanは三角関数の基礎なので、以下の問題は必ず解けるようにしておきましょう!

          問題その1

          以下のような直角三角形ABCがあるとき、sinθ、cosθ、tanθの値を求めよ。

          解答&解説

          sinθ=AC/ABなので、

          sinθ=12/13・・・(答)

          cosθ=BC/ABなので、

          cosθ=5/13・・・(答)

          tanθ=AC/BCなので、

          tanθ=12/5・・・(答)

          となります。

          補足:tanθを求める別解

          本記事の「4:必ず覚えよう!sin・cos・tanの重要公式3つ」でも紹介した通り、tanθ=sinθ/cosθなので、sinθとcosθを求めてから、

          tanθ

          =(12/13)/(5/13)

          =12/5・・・(答)

          としてtanθを求めることもできます。

           

          問題その2

          cos2θ=25/29のとき、tanθの値を求めよ。

          解答&解説

          本記事で学習した公式その3

          1 + tan2θ = 1/cos2θ

          を使いましょう!

          cos2θ=25/29なので、

          1+tan2θ=29/25

          となりますね。

          よって、

          tan2θ=4/25

          となるので、

          tanθ=2/5、-2/5・・・(答)

          となります。

           

            三角関数のsin・cos・tanのまとめ

            三角関数のsin・cos・tanが理解できましたか?

            繰り返しになりますが、sin・cos・tanは三角関数の分野の基本です。必ず理解しておきましょう!

            理系科目だけに力を注いでいませんか?
            10万人近くもの高校生が読んでいる読売中高生新聞を購読して国語・社会・英語の知識もまとめて身につけましょう!購読のお申し込みはここをクリック!

            アンケートにご協力ください!【外部検定利用入試に関するアンケート】

            ※アンケート実施期間:2021年1月13日~

            受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、中高生の学習事情についてのアンケート調査を行っています。今回はアンケートに答えてくれた方から10名様に500円分の図書カードをプレゼントいたします。


            アンケートに答える


            受験生の勉強に役立つLINEスタンプ発売中!

            受験生が使いやすい「受験のミカタ」勉強LINEスタンプ販売中!


            最新情報を受け取ろう!

            プッシュ通知を許可する

            受験のミカタから最新の受験情報を配信中!

            この記事の執筆者

            ニックネーム:やっすん

            早稲田大学商学部4年
            得意科目:数学