三角関数のsin・cos・tanとは?値の求め方・覚え方・練習問題を図で解説!

数学 2022.7.19
三角関数のsin・cos・tanとは?値の求め方・覚え方・練習問題を図で解説!

高校数学のメインの1つである三角関数。

三角関数の基本がsin(サイン)・cos(コサイン)・tan(タンジェント)です。

今回は三角関数を学習し始めたばかりの方でも理解しやすいように、sin・cos・tanとは何かについて、図を用いて丁寧に解説していきます。

また、sin・cos・tanの覚え方についても図解で紹介します。

さらに、重要な公式3つも紹介します。

最後には、sin・cos・tanの求め方や重要な公式を使う練習問題も用意しています。

本記事を読めば、数学が苦手な人でもsin・cos・tanが理解できるでしょう。

三角関数の基本的な理解に役立つ記事のまとめもぜひ参考にしてみてください!

    sin,cos,tanとは?三角比の値の求め方&覚え方を解説!

    sin・cos・tanは、「三角比」と呼ばれるものです。

    では、「三角比」とは何でしょうか?

    「三角比」とは、「直角三角形の辺の比」という意味です。

    直角三角形は、3つの角の大きさが決まると、辺の長さの比も決まります。

    例えば、次の2つの三角形は、どちらも∠A=60°、∠B=30°、∠C=90°の直角三角形です。

    2つの三角形の比較

    2つの直角三角形は辺の長さは異なりますが、 AC/ABをそれぞれ計算すると

    左の直角三角形 AC/AB=1/2   右の直角三角形 AC/AB=2/4=1/2

    と同じになります。

    つまり、図形を拡大・縮小しても角の大きさが同じであれば、辺の比は変わりません。

    そこで、辺の比AC/ABをsinB と定義します。

    同じように、cosB とtanB は次の表のように定義します。

    sin(サイン) 公式① sinB=AC/AB
    cos(コサイン) 公式② cosB=BC/AB
    tan(タンジェント) 公式③ tanB=AC/BC

    sin・cos・tanの求め方や覚え方については、次の項目でそれぞれ詳しく解説します。

    なお、よく使われる三角比の値は次の表のとおりです。

    定義から求めることができますが、よく使いますので覚えておきましょう。

    三角比の値

    sin(サイン)の値の求め方&覚え方

    まずはsinから解説していきます。

    sinとは、次の図のような直角三角形ABCにおいて、AC/ABのことです。

    sin1

    ※sin・cos・tanを考えるときの三角形は必ず直角三角形です。

    具体例で説明します。

    まずは、次の図のようなAB=5、AC=4、BC=3の直角三角形の場合を考えてみましょう.

    sin4

    sinBを求めてみましょう。

    sinB
    = AC/AB
    = 4/5

    となります。

    辺の長さからsinの値を求めましたが、1.sin,cos,tanとは?三角比の値の求め方&覚え方を解説!で説明したように拡大・縮小しても三角比の値は変わらないため、辺の比からでもsinの値を求めることができます。

    例えば、∠B=30°の直角三角形を考えてみます。
    直角三角形の辺の比は、

    AC:AB:BC=1:2:√3

    です。

    sin3

    sinBを求めてみましょう。

    sinB
    = AC/AB
    = 1/2
    となります。

    このように、辺の長さと辺の比のどちらからでもsinの値は求めることができます。(cos・tanも同様)

    【sinの覚え方】
    sinがどの辺の比か覚える方法があります。
    次の図のように、sinの頭文字sの筆記体を書いたときの順番に、分母、分子とすれば求められます。

    sinの覚え方

    cos(コサイン)の値の求め方&覚え方

    次はcosの解説をします。

    cosとは、下図のような直角三角形ABCにおいて、BC/ABのことです。

    sin5

    では、具体例を見てみましょう。

    sinと同様に∠B=30°の直角三角形を考えてみます。

    sin3

    cosBはBC/ABなので、

    cosB = √3/2

    となります。

    今回は辺の比からcosを求めましたが、もちろんsinと同様に具体的な辺の長さからcosを求めることもできます。

    【cosの覚え方】
    sinと同様に、cosもどの辺の比か覚える方法があります。
    次の図のように、cosの頭文字cの筆記体を書いたときの順番に、分母、分子とすれば求められます。

    cosの覚え方

    tan(タンジェント)の値の求め方&覚え方

    最後はtanについて解説します。

    tanとは、下図のような直角三角形ABCにおいて、AC/BCのことです。

    tan(タンジェント)とは何か

    sin・cosと同様に∠B=30°の直角三角形のtanBを求めてみます。

    ∠B=30°の直角三角形

    tanB = AC/BCより、

    tanB=1/√3

    となります。

    tanでも、もちろん辺の比だけでなく具体的な辺の長さからtanを求めることができます。

    【tanの覚え方】
    sin・cosと同様にtanもどの辺の比か覚える方法があります。
    次の図のように、tanの頭文字tの筆記体を書いたときの順番に、分母、分子とすれば求められます。

    tanの覚え方

      必ず覚えよう!sin・cos・tanの重要公式3つ

      sin・cos・tanの間には次のような重要な公式があります。

      三角関数の公式その1 sin2θ + cos2θ = 1
      三角関数の公式その2 tanθ = sinθ/cosθ
      三角関数の公式その3 1 + tan2θ = 1/cos2θ

      それぞれの公式について解説をしていきます。
      三角関数の分野では頻繁に使う公式なので、解説を理解し、暗記しましょう!

      三角関数の分野ではこれから頻繁に使うことになるので、必ずこれから紹介する公式は暗記しておきましょう!

      三角関数の公式その1

      公式の1つ目は、

      sin2θ + cos2θ = 1

      です。

      つまり、下の図のような直角三角形を考えたとき、sinθの2乗とcosθの2乗を足すと1になるということです。

      sin2θ + cos2θ = 1

      ※三角関数では、sinθの2乗は「sinθ2」と書かずに「sin2θ」と書きます。cos・tanでも同様です。

      では、先ほどから使っている∠B=30°の直角三角形で考えてみます。

      ∠B=30°の直角三角形

      sinB = 1/2,cosB = √3/2です。

      したがって、

      sin2B = 1/4

      cos2B = 3/4

      です。

      よって、

      sin2B + cos2B

      = 1/4 + 3/4

      = 1

      となり、確かに足すと1になります。

      三角関数の公式その2

      公式2つ目は、

      tanθ = sinθ/cosθ

      です。

      では、∠B=30°の直角三角形で考えてみましょう。

      ∠B=30°の直角三角形

      sinB = 1/2,cosB = √3/2,tanB = 1/√3ですね。

      ここで、sinB/cosBを考えてみると、

      (1/2)/(√3/2)

      = 1/√3

      となり、確かにtanBの値と同じになっています。

      三角関数の公式その3

      最後の公式は少し複雑ですが、頑張って覚えましょう。

      1 + tan2θ = 1/cos2θ

      では、おなじみ∠B=30°の直角三角形で考えます。

      ∠B=30°の直角三角形

      cosB = √3/2

      tanB = 1/√3

      ですね。

      公式の左辺に代入すると、

      1+(1/√3)2

      = 1+1/3

      = 4/3・・・①

      ですね。

      公式の右辺に代入すると、

      1/(√3/2)2

      = 1/(3/4)

      = 4/3・・・②

      ですね。

      ①=②になっていますので、確認できました。

      以上で紹介したsin・cos・tanに関する公式は三角関数の分野では頻繁に使います。

      必ず覚えましょう!

      sin・cos・tanに関する練習問題

      最後に、sin・cos・tanに関する練習問題を紹介します。

      もちろん詳しい解答&解説付きです。

      sin・cos・tanは三角関数の基礎なので、以下の問題は必ず解けるようにしておきましょう!

      問題その1

      以下のような直角三角形ABCがあるとき、sinθ、cosθ、tanθの値を求めよ。

      解答&解説

      sinθ=AC/ABなので、

      sinθ=12/13・・・(答)

      cosθ=BC/ABなので、

      cosθ=5/13・・・(答)

      tanθ=AC/BCなので、

      tanθ=12/5・・・(答)

      となります。

      補足:tanθを求める別解

      本記事の「4:必ず覚えよう!sin・cos・tanの重要公式3つ」でも紹介した通り、tanθ=sinθ/cosθなので、sinθとcosθを求めてから、

      tanθ

      =(12/13)/(5/13)

      =12/5・・・(答)

      としてtanθを求めることもできます。

      問題その2

      cos2θ=25/29のとき、tanθの値を求めよ。

      解答&解説

      本記事で紹介した公式その3

      1 + tan2θ = 1/cos2θ

      を使いましょう!

      cos2θ=25/29なので、

      1+tan2θ=29/25

      となりますね。

      よって、

      tan2θ=4/25

      となるので、

      tanθ=2/5、-2/5・・・(答)

      となります。

        三角関数のsin・cos・tanのまとめ

        三角関数のsin・cos・tanが理解できましたか?

        sin・cos・tanの値の求め方、重要公式3つの式とその使い方を覚えるためには、丸暗記するのではなく、くり返し練習問題を解くなかで覚えるようにしましょう。

        はじめにも書きましたが、sin・cos・tanは三角関数の分野の基本です。
        必ず理解しておきましょう!

        記事の内容でわからないところ、質問などあればこちらからお気軽にご質問ください。

        中の人がお答えします。

        アンケートにご協力ください!【睡眠時間に関するアンケート】

        ※アンケート実施期間:2022年2月18日~

        受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、中高生の睡眠時間についてのアンケート調査を行っています。今回はアンケートに答えてくれた方から10名様に500円分の図書カードをプレゼントいたします。


        アンケートに答える


        受験生の勉強に役立つLINEスタンプ発売中!

        受験生が使いやすい「受験のミカタ」勉強LINEスタンプ販売中!


        最新情報を受け取ろう!

        プッシュ通知を許可する

        受験のミカタから最新の受験情報を配信中!

        この記事の執筆者

        ニックネーム:やっすん

        早稲田大学商学部4年
        得意科目:数学