三角関数のsin・cos・tanとは？使い方・求め方・覚え方を図表で解説！

「sin（サイン）・cos（コサイン）・tan（タンジェント）の使い方が分からない」「三角関数は公式が多くて大変……」といった方は多いでしょう。

sin・cos・tanの基礎を固めておくことで、幅広い三角関数の問題に対処できるようになります。

sin・cos・tanは使い方と重要な公式を覚えておくことで、理解しやすくなります。この記事の練習問題を参考に、三角関数の学習を進め、大学受験に備えましょう！

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sin・cos・tanとは？【直角三角形の辺の比】

「三角比」とは、「直角三角形の辺の比」という意味です。直角三角形は、3つの角の大きさが決まると、辺の長さの比も決まります。

例えば、次の2つの三角形は、どちらも∠Ａ＝60°、∠Ｂ＝30°、∠Ｃ＝90°の直角三角形です。

2つの直角三角形は辺の長さは異なりますが、 AC/ABをそれぞれ計算すると

となり、同じになることが分かりますね。

つまり、図形を拡大・縮小しても角の大きさが同じであれば、辺の比は変わりません。

そこで、辺の比AC/ABをsinBと定義します。同じように、cosBとtanBも次の表のように定義します。

sin（サイン）	公式①　sinB=AC/AB
cos（コサイン）	公式②　cosB=BC/AB
tan（タンジェント）	公式③　tanB=AC/BC

sin・cos・tanの求め方は、次の項目でそれぞれ詳しく解説します。

以下の表はよく使われる三角比の値なので覚えましょう！

sinの求め方：sinB=AC/AB

sinとは、「基準の角に向かい合う辺/直角と向かい合う辺」のことです。

次の図のような直角三角形ABCにおいて基準の角をBとしたときに、AC/ABのことを指します。

※sin・cos・tanを考えるときの三角形は必ず直角三角形

まずは、次の図のようなAB=5、AC=4、BC=3の直角三角形の場合を考えてみましょう.

sinBを求めてみましょう。

となります。

今回は辺の長さからsinの値を求めましたが、拡大・縮小しても三角比の値は変わらないため、辺の比からでもsinの値を求めることができます。

例として、∠B=30°の直角三角形を考えてみます。
直角三角形の辺の比は、

AC：AB：BC=1：2：√3

です。

sinBを求めてみましょう。

となります。

このように、辺の長さと辺の比のどちらからでもsinの値は求められます。

cosの求め方：cosB=BC/AB

cosとは、「基準の角と直角に挟まれた辺/直角と向かい合う辺」のことです。

次の図のような直角三角形ABCにおいて基準の角をBとしたときに、BC/ABのことを指します。

具体例として、sinと同様に∠B=30°の直角三角形を考えてみます。

cosBを求めてみましょう。

となります。

今回は辺の比からcosを求めましたが、もちろんsinと同様に辺の長さからcosを求められます。

tanの求め方：tanB=AC/BC

tanとは、「基準の角に向かい合う辺/基準の角と直角に挟まれた辺」のことです。

次の図のような直角三角形ABCにおいて基準の角をBとしたときに、AC/BCのことを指します。

sin・cosと同様に∠B=30°の直角三角形のtanBを求めてみます。

tanBを求めてみましょう。

となります。

tanでも辺の比だけでなく辺の長さからtanを求められます。

sin・cos・tanの覚え方

sin・cos・tanがそれぞれどの辺の比かは、「頭文字の筆記体の書き順」で簡単に覚えることができます！

【sinの覚え方】
次の図のように、sinの頭文字sの筆記体を書いたときの順番に、分母、分子とすれば求められます。

【cosの覚え方】
次の図のように、cosの頭文字cの筆記体を書いたときの順番に、分母、分子とすれば求められます。

【tanの覚え方】
次の図のように、tanの頭文字tの筆記体を書いたときの順番に、分母、分子とすれば求められます。

sin・cos・tanの間には次のような重要な公式があります。

それぞれの公式について解説をしていきます。三角関数の分野では頻繁に使う公式なので、解説を理解し、暗記しましょう！

公式①：sin²θ + cos²θ = 1

公式の１つ目は、
sin²θ + cos²θ = 1
です。

つまり、下の図のような直角三角形を考えたとき、sinθの2乗とcosθの2乗を足すと1になるということです。

※三角関数では、sinθの２乗は「sinθ²」と書かずに「sin²θ」と書きます。cos・tanでも同様です。

では、先ほどから使っている∠B=30°の直角三角形で考えてみます。

>sinB = 1/2,cosB = √3/2です。

したがって、

sin²B = 1/4

cos²B = 3/4

です。

よって、

sin²B + cos²B

= 1/4 + 3/4

= 1

となり、確かに足すと1になります。

公式②：tanθ = sinθ/cosθ

公式2つ目は、

tanθ = sinθ/cosθ

です。

では、∠B=30°の直角三角形で考えてみましょう。

sinB = 1/2,cosB = √3/2,tanB = 1/√3ですね。

ここで、sinB/cosBを考えてみると、

(1/2)/(√3/2)

= 1/√3

となり、確かにtanBの値と同じになっています。

公式③：1 + tan²θ = 1/cos²θ

最後の公式は少し複雑ですが、頑張って覚えましょう。

1 + tan²θ = 1/cos²θ

では、おなじみ∠B=30°の直角三角形で考えます。

cosB = √3/2

tanB = 1/√3

ですね。

公式の左辺に代入すると、

1+(1/√3)²

= 1+1/3

= 4/3・・・①

ですね。

公式の右辺に代入すると、

1/(√3/2)²

= 1/(3/4)

= 4/3・・・②

ですね。

①＝②になっていますので、確認できました。

以上で紹介したsin・cos・tanに関する公式は三角関数の分野では頻繁に使います。

必ず覚えましょう！

sin・cos・tanに関する練習問題

最後に、sin・cos・tanに関する練習問題を紹介します。もちろん詳しい解答＆解説付きです。sin・cos・tanは三角関数の基礎なので、以下の問題は必ず解けるようにしておきましょう！

問題その1

以下のような直角三角形ABCがあるとき、sinθ、cosθ、tanθの値を求めよ。

解答＆解説

sinθ=AC/ABなので、

sinθ=12/13・・・（答）

cosθ=BC/ABなので、

cosθ=5/13・・・（答）

tanθ=AC/BCなので、

tanθ=12/5・・・（答）

となります。

補足：tanθを求める別解

記事中でも紹介した通り、tanθ=sinθ/cosθなので、sinθとcosθを求めてから、

tanθ

=（12/13）/（5/13）

=12/5・・・（答）

としてtanθを求めることもできます。

問題その2

cos²θ=25/29のとき、tanθの値を求めよ。

解答＆解説

本記事で紹介した公式その3

1 + tan²θ = 1/cos²θ

を使いましょう！

cos²θ=25/29なので、

1+tan²θ=29/25

となりますね。

よって、

tan²θ=4/25

となるので、

tanθ=2/5、-2/5・・・（答）

となります。

三角関数のsin・cos・tanが理解できましたか？
sin・cos・tanの値の求め方、重要公式3つの式とその使い方を覚えるためには、丸暗記するのではなく、くり返し練習問題を解くなかで覚えるようにしましょう。
はじめにも書きましたが、sin・cos・tanは三角関数の分野の基本です。必ず理解しておきましょう！

この記事の執筆者

ニックネーム：やっすん

早稲田大学商学部4年
得意科目：数学