三角関数とは？三角関数の基礎、試験にでる要点まとめ

数Ⅱ

数学 2024.3.12

三角関数は大学入試で頻出の範囲の一つです。

センター試験でもここ５年間で2011年、2013年、2015年と２年に１度のペースで出題されています。

また、2015年度は早稲田大学で3学部（国際教養、人間科学、社会科学部）、慶応大学で５学部（理工、経済、環境情報、看護、薬学部）で三角関数に関する問題が出題されました。

このように入試で出題頻度の高い三角関数ですが、覚える公式が多くて、多くの受験生が苦労している分野です。

だから、場当たり的に覚えるのではなくまとめていっぺんに覚えてしまう方が効率がよいです。

そこで、今回は、三角関数の公式や性質など入試に出やすい重要な部分に絞り、要点をまとめました。

是非、三角関数をおさらいしてみてください！

三角関数の基本的な理解に役立つ記事のまとめもぜひ参考にしてみてください！

【目次】

1.三角関数　定義&大事な性質

1-1. 三角関数って何？

1-2. 三角関数　必ず覚えなくてはならない３つの性質

1-3. 三角関数　グラフ&θの変動

2.三角関数　加法定理

3.三角関数　積和の公式　和積の公式

4.三角関数　合成

1. 三角関数　定義&大事な性質

この章では三角関数の定義や三角関数のグラフ、性質を紹介します。

1-1. 三角関数って何？

三角関数を勉強する上で「sin（サイン）」や「cos（コサイン）」とは何か？を理解しなくては成りません。

これら２つを定義するには下図のような単位円が必要になります。

ちなみに単位円とは、１辺の長さが１の円のことをいいます。

上図においてAのXの値をcosθ、Yの値をsinθと定義します。

つまり・・

$\cos \theta =X,\sin \theta =Y,\tan \theta =\frac{Y}{X}$

になります。tanθは傾きを示します。

ちなみに、単位円以外の半径がRの円では・・

$\cos \theta =\frac{X}{R},X\sin \theta ==\frac{Y}{R},\tan \theta =\frac{Y}{X}$

と定義する事が出来ます。

1-2. 三角関数　必ず覚えなくてはならない3つの性質

三角関数には大事な性質が3つあります。この3つは三角関数の式を変換していく上で欠かせません。必ず暗記しましょう。

①sin^２θ+cos^２θ=1

② $\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

③ $1+\tan^2 \theta=\frac{1}{\cos^2 \theta}$

証明や詳しい解説は『三角関数の基礎　必ず覚えておかなくてはならない5つの性質』をご覧ください。

1-3. 三角関数　グラフ&θの変動

Y=sinθやY=cosθはθの値によってYの値が変動します。例えば、 $\sin \frac {\pi}{6}=\frac{1}{2}$ → $\sin \frac {\pi}{4}=\frac {\sqrt{2}}{2}$ のように変動するのは分かりますよね。このような変化をプロットしたものが以下の３つのグラフになります。