三角関数の基礎 必ず覚えておかなくてはならない5つの性質

数学 2015.9.15

三角関数は、大学受験に出題されやすい範囲の一つです。

近年では、2014年慶應商学部、2015年早稲田社会科学部、人間科学部、国際教養学部などで出題されています。

その他の多くの大学でも、少なくとも5年に一度は出題されているくらい頻度が高いです。

三角関数は、考え方が重要で、特に定義や性質をしっかりとマスターする必要があります。

今回は、最もベーシックとなる定義と5つの性質をまとめました。是非、この機会に三角関数をマスターしましょう。

  1. 三角関数の定義
  2. 三角関数 必ず覚えておかなくてはならない5つの性質

 

 

 

1. 三角関数の定義

三角関数は数Ⅰと数Ⅱで定義は違っていますが、本質は一緒です。

数Ⅰバージョン(三角比)

数Ⅰでは、誰でもが直感的に理解出来るように、三角関数が簡易的な定義になっています。

筆記体の書き順で何が分母で何が分子にくるかが分かります。

先に通る方:分母⇒後に通る方:分子

三角関数 定義(数Ⅰバージョン)

Sを書くのにA→Cに向かいます。

三角関数 定義(数Ⅰバージョン)cos

Cを書くのにA→Bに向かいます。

三角関数 定義(数Ⅰバージョン)tan

 

Tを書くのにB→Cに向かいます。

 

覚えかた付きですごく分かりやすいのですが一つ問題があります。

それは、θ≧180°の時に定義出来ないという点です。それを数Ⅱで解決してくれます。

 

数Ⅱバージョン

数Ⅱでは、円を用いて定義します。

今回は、簡単に理解しやすいように半径が1の単位円を使って定義します。

三角関数 定義 数Ⅱバージョン

 

\cos \theta =X,\sin \theta =Y,\tan \theta =\frac{Y}{X}

単位円以外の半径Rの円では

\cos \theta =\frac{X}{R},X\sin \theta ==\frac{Y}{R},\tan \theta =\frac{Y}{X}

tanθは傾きを表します。

 

「cosθってなんだ?」と漠然と疑問に思う事があると思います。そんな時に、頭の中に単位円を思い出し、そのX座標の事であると思い出すと問題を解く上で、考えやすくなります。

しっかり覚えましょう。

 

2. 三角関数 必ず覚えなくてはならない5つの性質

①sinθ+cosθ=1

 \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}

①、②とも三角関数の定義の単位円を思い出せば、簡単です。

三角関数 定義 数Ⅱバージョン

①は単位円の方程式がX+Y=1だから、それにX=cosθ、Y=sinθを代入すれば出来ます。

また、②は\tan \theta =\frac{Y}{X}だからX=cosθ、Y=sinθを代入すれば完成です。

 

1+\tan^2 \theta=\frac{1}{\cos^2 \theta}

これは、①のsinθ+cosθ=1をcosθで割るだけです。

{(\frac{\sin\theta}{\cos\theta})}^2+1=\frac{1}{\cos^2\theta}

\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}より成立します。

 

④三角関数グラフ

しつこいようですが、もう一度思い出していただきたいのが、こちらの定義です。\cos \theta =X,\sin \theta =Y,\tan \theta =\frac{Y}{X} tanθ:傾き

三角関数 定義 数Ⅱバージョン

Y=sinθ グラフ

単位円のY座標は、sinθを表します。

だからグラフは、単位円を回転する事なく、グラフにそのままプロットします。

sinθのとりうる範囲は-1≦Y≦1です。

 

Y=cosθ グラフ

単位円のX座標は、cosθを表します。

だから、単位円のX座標を90°回転させなくてはなりません。回転後は、それをプロットしていけば良いです。

cosθのとりうる範囲は-1≦Y≦1になります。

最後は、Y=tanθのグラフです。

\tan\theta =\frac{Y}{X} tanθ:傾き

下図を見ると、傾きが徐々に大きくなっていくのが分かりますね。

 

三角関数 定義 数Ⅱバージョン

グラフに表すと以下になります。

Y=tanθ グラフ

上のグラフを見ていただければ分かりますが、

\theta=\frac{\pi}{2}+n\pi

の時(赤線の時)は、Y=無限大になってしまいます。

だから、範囲は

\theta\not=\frac{\pi}{2}+n\piで、Yはすべての実数値をとります。

⑤三角関数 θによる変動

この表はかなり重要です。

三角関数 θによる変化

これもコツは頭の中で

三角関数 定義 数Ⅱバージョン

を思い浮かべ、回転させてみる事です!

三角関数 証明

実際に書いてみると、一目瞭然ですね。

一つの辺と、2つの角度の大きさが等しいので、△AOB≡△OCDになります。あとは、合同条件よりAB=OD=sinθ、OB=CD=cosθになるので、sinθ⇒cosθ、cosθ⇒-sinθになります。

 

表の中の、値は上記のように解けば、証明出来ます。是非やってみてください。

忘れた時は、このように書いて、思い出すことができますが、基本は頭の中で、どのように変換出来るかを瞬時に導ける事が大事です。

しっかりと練習を積んでください!


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