sin^2θ+cos^2θ=1の証明を見やすい図で慶應生が徹底解説してみた

数学 2017.4.27

高校数学における三角関数の分野では、いくつか公式が登場しますね。

三角関数の公式の中でも特に重要なのが「sin2θ+cos2θ=1」という公式です。

では、なぜ「sin2θ+cos2θ=1」は成り立つのでしょうか?

本記事では、慶応大学に通う筆者が「sin2θ+cos2θ=1」の解説、証明を行います。

証明は2通りある(三平方の定理を使っての証明と単位円を使っての証明)ので、どちらも理解しておきましょう。

スマホでも見やすいイラストを使いながら数学が苦手な人でも理解できるように解説していきます!

【 目次 】

1:sin2θ+cos2θ=1のおさらい

2:sin2θ+cos2θ=1の証明その1(三平方の定理)

3:sin2θ+cos2θ=1の証明その2(単位円)

 

1:sin2θ+cos2θ=1のおさらい

sin2θ+cos2θ=1のおさらい

まずはsin2θ+cos2θ=1のおさらいをしておきましょう!

例えば、以下のようなθ=30°の直角三角形を考えてみましょう。

θ=30°の直角三角形

すると、

sinθ = 1/2

cosθ = √3/2

ですね。

※sinθとcosθの求め方がわからない人は、sin、cos、tanについて詳しく解説した記事をご覧ください。

よって、

sin2θ = (1/2)2 = 1/4

cos2θ = (√3/2)2 = 3/4

となるので、

sin2θ+cos2θ

= 1/4 + 3/4

= 1

となり、公式「sin2θ+cos2θ=1」が成立しているのがわかりますね。

では、次の章からは公式「sin2θ+cos2θ=1」の証明をしていきます!

 

2:sin2θ+cos2θ=1の証明その1(三平方の定理)

sin2θ+cos2θ=1の証明その1

では、早速1つ目の証明をしていきます。

まずは、三平方の定理を思い出してください。

※三平方の定理を見直したい人は、三平方の定理について詳しく解説した記事をご覧ください。

以下のような直角三角形を考えてください。

直角三角形

三平方の定理とは、

BC2 + AC2 = AB2・・・①

が成り立つことでしたね。

ここで、①の両辺をAB2で割ってみましょう。

すると、

(BC/AB)2 + (AC/AB)2 = 1・・・②

となりますね。

ここで、②の左辺の

(BC/AB)2と(AC/AB)2

に注目してみましょう。

BC/AB=sinθですね。

AC/AB=cosθはです。

(BC/AB)2と(AC/AB)2 に注目

それの2乗なので、

(BC/AB)2 = sin2θ

(AC/AB)2 = cos2θ

したがって、

sin2θ + cos2θ = 1

となるわけですね。

公式「sin2θ+cos2θ=1」は三平方の定理から導かれていたのでした。

以上が1つ目の証明となります。

 

3:sin2θ+cos2θ=1の証明その2(単位円)

sin2θ+cos2θ=1の証明その2

では、2つ目の証明をしていきます。

今回は単位円を使って証明を行います。

下のイラストのように、単位円において、(x、y)という座標と三角形を考えてみます。

単位円

この時、sinθ=y、cosθ=xとなりますね。

※この理由がわからない人は、単位円について詳しく解説した記事をご覧ください。

すると、

sin2θ+ cos2θ

= y2 + x2

= x2 + y2

ここで、(x、y)に単位円上にあるので、円の方程式より

x2 + y2 = 1

となるので、公式「sin2θ+cos2θ=1」が証明できました。

以上が単位円を使っての証明となります。

 

いかがでしたか?

三角形関数の公式「sin2θ+cos2θ=1」の証明が理解できましたか?

今回は三平方の定理で証明する場合と単位円を使って証明する場合の2通りの証明を紹介しました。

どちらも非常に重要な証明なので、ぜひ覚えておきましょう!


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この記事の執筆者

ニックネーム:受験のミカタ編集部

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