判別式とは?判別式のD/4&実践的な使い方を解説します(練習問題付き)

数学 2016.11.28
判別式とは?判別式のD/4&実践的な使い方を解説します(練習問題付き)

判別式について、現役の早稲田大生が、数学が苦手な人でも理解できるように丁寧に解説します。

本記事を読めば、判別式の全てが理解でいるでしょう。

扱う内容は、判別式とは何か・判別式の公式・判別式D/4についての3つです。

最後には、判別式を利用した練習問題も用意した充実の内容です。

ぜひ最後まで読んで、判別式をマスターしましょう!

 

    1:判別式とは?

    まずは判別式とは何かについて解説します。

    まずは、二次方程式の解の公式思い出してください。

    ax2+bx+c=0

    という二次方程式の解は、

    x={-b+√(b2-4ac)}/2a、{-b-√(b2-4ac)}/2a・・・①

    の2つでしたね。

    ※二次方程式の解の公式があまり理解できていない人は、二次方程式の解の公式について詳しく解説した記事をご覧ください。

    このとき、ルートの中の「b2-4ac」のことを判別式といいます。

    判別式は、Dと表すことがよくあります。

    すなわち、

    D=b2-4ac

    となる訳ですね。

    判別式とは何かのの解説

    以上が、判別式とは何かについての解説です。

     

      2:判別式のD/4とは?

      判別式のD/4とは、xの係数が偶数のとき(ここではxの係数b→2bとして表現します)に使えます。

      二次方程式の解の公式を思い出してください。

      xの係数が偶数の二次方程式の時は、以下のように表すことができますよね。

       

      二次方程式の解

      ※二次方程式の解の求め方があまり理解できていない人は、二次方程式の解の求め方について解説した記事をご覧ください。

      xの係数が偶数のときは、ルートの中(判別式)が「b2-ac」となっています。

      この場合の判別式は、Dと表すのではなく、D/4と表す場合が多いです。

      すなわち、

      D/4 = b2-ac です。

      判別式D/4の解説画像

      では、なぜD/4なのでしょうか?

      ax2+2bx+c=0のとき、判別式Dは、

      D

      = (2b)2-4ac

      = 4b2-4ac

      となりますね。よって、両辺を4で割って、

      D/4 = b2-ac

      となる訳です。

      判別式D/4は、二次方程式のxの係数が偶数のときに使います。ぜひ覚えておきましょう。

       

      3:判別式の使い方

      判別式を使えば、どのようなことがわかるのでしょうか?

      この章では、例をあげながら判別式の使い方について解説していきます。

      判別式を使えば、「二次方程式の解が何個あるのか?」を調べることができます。

      ・判別式D(もしくはD/4)が、0よりも大きい場合は、二次方程式は異なる2つの実数解を持ちます。

      ・判別式D(もしくはD/4)が、0の場合は、二次方程式は実数解を1つだけ持ちます。(重解と言います。)

      ※重解をもっと深く学習したい人は、重解について詳しく学習した記事をご覧ください。

      ・判別式D(もしくはD/4)が、0よりも小さい場合は、二次方程式は実数解を持ちません。(※虚数解というのを持つことになりますが、本記事では割愛します。)

      判別式についてのまとめ

      以上が判別式の使い方についてです。

      では、最後に判別式を使った練習問題を解いてみましょう。もちろん詳しい解答&解説付きです。

       

        4:判別式を使った練習問題

        判別式をつ方練習問題を3個用意しました。ぜひ解いてみてください。

        判別式:問題1

        二次方程式x2-3x+1=0の実数解は何個あるか、判別式を使って求めよ。

        解答&解説

        まずは判別式を考えます。今回はxの係数が-3で偶数ではないので、判別式Dを使います。

        判別式D

        = (-3)2-4・1・1

        = 5

        です。5は0よりも大きいので、二次方程式は実数解を2つ持つことになります。

         

        判別式:問題2

        二次方程式3x2+2x+10=0の実数解は何個あるか、判別式を使って求めよ。

        解答&解説

        今回は、xの係数2が偶数なので判別式D/4を使います。

        判別式D/4

        = 12-3・10

        = -29

        より、0より小さい結果となりました。

        よって、二次方程式は実数解を1つも持ちません。

         

        判別式:問題3

        二次方程式x2-4x+4=0の実数解は何個あるか、判別式を使って求めよ。

        解答&解説

        xの係数は-4ですので、判別式D/4を使います。

        判別式D/4

        = (-2)2-1・4

        = 0

        より、判別式が0になりました。

        したがって、二次方程式の実数解は1個(重解)になります。

         

         

          判別式D/4のまとめ

          判別式について理解できましたか?判別式は、二次方程式だけでなく、多くの分野で使用することになる基本事項です。

          判別式を忘れた場合は、また本記事で判別式を復習しましょう!

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          この記事の執筆者

          ニックネーム:やっすん

          早稲田大学商学部4年
          得意科目:数学