重解とは?求め方&絶対解きたい超頻出の問題付き!

数学 2016.12.26
重解とは?求め方&絶対解きたい超頻出の問題付き!

中学・高校数学における重解について、数学が苦手な人でも理解できるように現役の早稲田生が解説します。

重解は二次方程式の分野で頻出する重要事項です。重解と判別式の関係など、非常に重要な事柄もあるので必ず知っておきましょう!

本記事では、重解とは何かの解説に加えて、重解の求め方や重解に関する必ず解いておきたい問題も紹介しています。

ぜひ最後まで読んで、重解をマスターしましょう!

→因数分解に役立つ記事まとめはコチラ!

 

    1:重解とは?(重解の求め方と公式)

    まずは重解とは何か・重解の求め方や公式について解説します。

    重解とは、二次方程式の解が1つのみのことです。

    二次方程式の解き方を忘れてしまった人は、二次方程式について丁寧に解説した記事をご覧ください。

    例えば、変数xの二次方程式(x-a)²=0の解はx=aで1つのみですよね?このaを重解といいます。

    重解とは何かの解説画像

    しかし、重解かどうかを調べるためにいちいち二次方程式を解くのは面倒ですよね?

    二次方程式が重解を持つかどうかは、重解に関する公式を使えば求めることができます。

    二次方程式が重解を持つかどうかを調べるには、判別式Dを使います。

    ※判別式を忘れてしまった人は、判別式について解説して記事をご覧ください。

    xの二次方程式ax²+bx+cの解は、解の公式より

    x=(-b±√b²-4ac)/2a

    です。

    以上の√(ルート)の中身、つまり判別式D=b²-4acが0になれば、解はx=-b/2aの1つのみとなります。

    よって、二次方程式が重解を持つための条件は、「判別式D=0」となることがわかります。

    重解の求め方・公式解説画像

     

      2:重解となる二次方程式の例題

      では、二次方程式が重解となる例を見てみましょう。

      例えば、二次方程式

      x²+10x+25=0

      を考えてみます。

      以上の二次方程式を因数分解してみると、

      (x+5)²=0 より

      x=-5のみが解なので重解です。

      試しに、判別式Dを計算してみると

      D

      =10²-4×25

      =100-100

      =0

      となり、判別式Dがちゃんと0になっていますね。

       

      3:重解に関する練習問題

      重解に関する練習問題のイメージ

      では、重解を利用した練習問題をいくつか解いてみましょう。頻出の問題なので、ぜひ解いてください!

      重解の利用方法が理解できるかと思います。

      重解:練習問題1

      xの二次方程式x²-4tx+12=0が重解を持つとき、tの値と重解を求めよ。

      解答&解説

      重解の公式、判別式D=0を使います。

      D

      =(-4t)²-4×1×12

      =0

      より、

      16t²-48=0

      t²=3

      t=±√3

      (ⅰ) t=√3のとき

      x=-b/2aより

      x=-(-4√3)/2

      x=2√3・・・(答)

      (ⅱ) t=-√3の時

      x=-b/2aより

      x=-4√3/2

      x=-2√3・・・(答)

       

      重解:練習問題2

      xの2次方程式x²-2tx+4=0が重解を持つ時、tの値と重解を求めよ。

      ただし、t>0とする。

      解答&解説

      重解の公式、判別式D=0を使います。

      D

      =(-2t)²-4×1×4

      =0

      より

      4t²-16=0

      t²=4

      t=±2

      問題文の条件より、t>0なので、

      t=2となる。

      よって、t=2のとき

      x=-b/2aより

      x=-(-4)/2

      x=2・・・(答)

       

        さいごに

        重解とは何か・重解の求め方・公式が理解できましたか?

        重解を利用して解く問題はこれから先もたくさん登場します。

        重解を忘れてしまったときは、また本記事を読み返して、重解を復習してください。

        →因数分解に役立つ記事まとめはコチラ!

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        この記事の執筆者

        ニックネーム:やっすん

        早稲田大学商学部4年
        得意科目:数学