【高校数学】二次方程式の解の公式とは?証明と問題、その解き方を解説します

数学 2015.9.4
【高校数学】二次方程式の解の公式とは?証明と問題、その解き方を解説します

今回は、二次方程式の解の公式・解き方を紹介します。大学受験までには必ず覚えてなくてはならない公式なので、忘れそうになったらその都度確認してください!

 

    1. 二次方程式 解の公式

    二次方程式の解の公式は重要なのでしっかり覚えましょう。また、偶数の場合の公式も式が簡潔になるので、覚えましょう。

    センター試験などで早く解けます。

    2次方程式の解の公式

     

    < 解の公式・証明 >

    AX^2+BX+C=A(X+\frac{B}{2A})^2-\frac{B^2-4AC}{4A}=0

     

    (X+\frac{B}{2A})^2=\frac{B^2-4AC}{4A^2}

     

    X+\frac{B}{2A}=\pm\frac{\sqrt {B^2-4AC}}{2A}

     

    X=\frac{-B\pm\sqrt {B^2-4AC}}{2A}

    √の中のB-4ACによって解の種類を判別する事が出来ます。これは判別式と呼ばれ、二次方程式の解の公式と同様に重要になってきます。(詳しくは別章でやります!)

    D=B-4AC

    判別式

     

     

      2. 二次方程式 解き方

      4X+8X-21=0のXの解を求める時、あなたは、どのようにもとめますか?

       

       

      ここで、さっそく解の公式を使ったあなた・・

      何か忘れていませんか?

      そう!

      因数分解です!(分からない方は「5分で分かる因数分解公式・解き方」を確認してください。」)

      受験ではスピードが最も大事になります。

      そんな時に、簡単なものでも、解の公式を使ってしまっていたら時間がいくらあっても足りません。

      ですので、まずは、式を見た瞬間に因数分解が出来るかどうかを判断することが大事です。

      それが出来ない時に初めて、解の公式を使いましょう!基本的には虚数解を持つとき(D<0)しか解の公式は使わない方が早いです。

      判別式

      ※D<0は解の公式で求めた解で、因数分解が出来ますが、たすき掛け等で因数分解をする事は出来ないので注意してください。

      最後に、いくつか問題を出します。練習してみてください!

      【問題】

      (1) 3X+2X+7=0
      (2) 5X-2X-7=0
      (3)6X-5X-4=0
      (4)2X-5X+12=0
      (5)-X+7X+8-0

       

       

      【解答】

      (1)は明らかに、解の公式を使います。なぜなら、D<0が暗算でも出てくるからです。

      解の公式を使うと

      X=\frac{-1\pm\sqrt {1^2-21}}{3}=\frac{-1\pm\sqrt 20i}{3}になります。

      (2)これは因数分解ですね。

      (5X-7)(x+1)=0

      X=-1, \frac{7}{5}

      (3)6X-5X-4=(3X-4)(2X+1)=0

      X=-\frac{1}{2},\frac{4}{3}

      (4)X=\frac{5\pm\sqrt{25-96}}{10}=\frac{5\pm\sqrt{71}i}{10}

      (5)-X+7X+8=-(X-8)(X+1)=0

      X=-1,8

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      この記事の執筆者

      ニックネーム:受験のミカタ編集部

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