外接円の半径の求め方がイラストで誰でも即わかる!練習問題付き

数学 2016.11.19
外接円の半径の求め方がイラストで誰でも即わかる!練習問題付き

外接円とは何か、および外接円の半径の求め方について、数学が苦手な人でも理解できるように、現役の早稲田大生が解説します。

これを読めば、外接円とはどのようのものか、外接円の半径の求め方がマスターできるでしょう。

スマホでも見やすい図を使って外接円の半径の求め方を解説しているので、わかりやすい内容です。

最後には、外接円の半径に関する練習問題も用意した充実の内容です。

ぜひ最後まで読んで、外接円、外接円の半径の求め方をマスターしてください!

 

    1:外接円とは?(内接円との違いも)

    まずは外接円とは何か?について解説します。

    外接円とは、三角形の外にあり、全ての頂点を通る円のことです。

    三角形の各辺の垂直二等分線の交点が外接円の中心となります。

    外接円半径の求め方解説画像

    よくある疑問として、「外接円と内接円の違い」がありますので、解説しておきます。

    内接円とは、三角形の中にあり、全ての辺と接する円のことです。

    三角形の角の二等分線の交点が内接円の中心となります。

    内接円とは何かの解説画像

    ※内接円を詳しく学習したい人は、内接円について詳しく解説した記事をご覧ください。

     

      2:外接円の半径の求め方

      では、外接円の半径を求める方法を解説します。

      みなさん、正弦定理は覚えていますか?外接円の半径を求めるには、正弦定理を使用します。

      ※正弦定理があまり理解できていない人は、正弦定理について解説した記事をご覧ください。

      三角形の3つの角の大きさがA、B、Cで、それらの角の対辺の長さがa、b、c、外接円の半径をRとすると、

      a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

      という公式が成り立ちました。

      外接円半径の求め方解説画像

      外接円の半径は正弦定理を使って求めることができたのですね。

      したがって、三角形の角の大きさと、その角の対辺の長さがわかれば外接円の半径は求められます。

       

      3:外接円の半径の求め方(具体例)

      では、以上の外接円の求め方(正弦定理)を踏まえて、実際に外接円の半径を求めてみましょう!

      外接円:例題

      下図のように、3辺が3、5、6の三角形ABCの外接円の半径Rを求めよ。

      3辺が3、5、6の三角形ABC

        解答&解説

        まずは三角形のどれかの角の大きさを求めなければいけません。

        3辺から1つの角の大きさを求めるには、余弦定理を使えばよいのでした。

        ※余弦定理を忘れてしまった人は、余弦定理について解説した記事をご覧ください。

        余弦定理より、

        cosA

        =(5²+6²-3²)/ 2×5×6

        = 52/60

        =13/15

        なので、

        (sinA)²

        =1 – (13/15)²

        =56/225

        Aは三角形の角なので 0°<A<180°です。

        よって、sinA>0より、

        sinA=(2√14)/15

        正弦定理より、

        2R

        =3 ÷ {(2√14)/15}

        =(45√14)/28

        となるので、求める外接円の半径Rは、

        (45√14)/56・・・(答)

        となります。

        いかがですか?

        外接円の半径を求めるにあたっては、1つの角の大きさとその対辺の長さが必要です。

        3辺の長さがわかっていて、角の大きさがわかっていないときは、まずは余弦定理を使って角の大きさを求めることを頭にいれておきましょう!

         

          4:外接円の半径を求める練習問題

          最後に、外接円の半径を求める練習問題を1つ用意しました。

          ぜひ解いてみてください。

          外接円:練習問題

          AB=2√2、AC=3、∠A=45°の三角形ABCにおける外接円の半径Rを求めよ。

           

          解答&解説

          まずは三角形ABCの図を書いてみましょう。下のようになりますね。

          三角形ABCの図

          ∠Aがわかってるので、BCの長さが求まれば外接円の半径が求められますね。

          余弦定理より

          BC²

          = AB²+AC²-2×AB×AC×cosA

          =(2√2)²+3²-2×2√2×3×cos45°

          =8+9-12

          = 5

          ※2辺とその間の角から残りの辺の長さを求めるときにも余弦定理が使えました。忘れてしまった人は、余弦定理について解説した記事をご覧ください。

          BC>0より、

          BC=√5 となります。

          これでようやく外接円の半径を求める条件が整いました。

          正弦定理より

          2R

          = BC/sinA

          = √5÷1/√2

          = √10

          ※sin45°=1/√2ですね。

          よって、

          R=√10 /2 ・・・(答)

          となります。

           

            さいごに

            いかがでしたか?

            外接円とは何か・外接円の半径の求め方の解説は以上になります。

            外接円の半径は、正弦定理で求めることができる」ということを必ず忘れないようにしておきましょう!

            記事の内容でわからないところ、質問などあればこちらからお気軽にご質問ください。

            中の人がお答えします。

            アンケートにご協力ください!【外部検定利用入試に関するアンケート】

            ※アンケート実施期間:2021年1月13日~

            受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、中高生の学習事情についてのアンケート調査を行っています。今回はアンケートに答えてくれた方から10名様に500円分の図書カードをプレゼントいたします。


            アンケートに答える


            受験生の勉強に役立つLINEスタンプ発売中!

            受験生が使いやすい「受験のミカタ」勉強LINEスタンプ販売中!


            最新情報を受け取ろう!

            プッシュ通知を許可する

            受験のミカタから最新の受験情報を配信中!

            この記事の執筆者

            ニックネーム:やっすん

            早稲田大学商学部4年
            得意科目:数学