5分でわかる!余弦定理の公式と証明、使い方を簡単に理解しよう!

数学 2015.8.19

 

今回は余弦定理の公式と証明について扱います。余弦定理の公式は入試でも必ず使うといってよいほど頻繁に登場することになるでしょう。

また、今回は公式だけでなく証明も扱います。余弦定理など、「定理を証明せよ」とう問題は最近になって入試でよく出題される傾向にあります。(最近では東大でも出題されています!)

なので、定理は公式をただ丸暗記するのではなく、証明にも必ず1度は目を通しておきましょう。

そして、余弦定理には主に2つの使い方があることも覚えておいてください。以下で詳しく解説していきます。

. 余弦定理の公式

余弦定理の公式は、以下の通りです。

余弦定理

以下は、角度を求める際に素早く求めることが出来るので是非覚えてください。

余弦定理の公式画像 

 

2.余弦定理の証明

1.角Aが鋭角である場合

定理

[証明]

上の図のように点A,B,Cをとる。

また、OC=b、CB=aとする。

A(0 , 0)、B(c , 0)とすると、Cは(bcosA , bsinA)となる。

頂点CからX軸へ垂線を下して、その交点をHとおく。

三角形CHBに注目して三平方の定理を用いると、

a2 = |c – bcosA|2 + (bsinA)2

= c2 – 2bc・cosA + b2 (cos2A + sin2A)

すなわち

a2 = b2 + c2 – 2bc・cosA となる。

2.角Aが直角である場合

直角

角Aが直角の場合、△ABCは直角三角形となるので、三平方の定理より

a2=b2+c2

となる。

cosA = cos90 = 0であることから、a2=b2+c2-2bc cosA は成立する。

3.角Aが鈍角である場合

余弦定理証明

上の図より、BHとAHは以下のように表すことができる。

BH=c・sin(180-A)=c・sinA
AH=c・cos(180-A)=-c・cosA

BCHに置いて、三平方の定理より
BC2=BH2+CH2

したがって
a2=(c・sinA)2+(b-c・cosA)2
=c2・sin2A+b2-2bc・cosA+c2cos2 A
=c2 (sin2A+cos2A)+b2-2bc・cosA
=c2+b2-2bc・cosA

よって、a2=b2+c2-2bc・cosA は成立する

3. 余弦定理の使い方

余弦定理の使い方は以下の2つの場合です。

Ⅰ:2辺+1つの角度が分かっている場合⇒残りの辺の長さを求める

 

余弦定理 使い方① 

【解答】

AC2=82+62-286cos60°

AC2=52

よってAC=2√13になることが分かる。

 

Ⅱ:3辺分かっている場合⇒すべての角度を求めることが出来る

余弦定理の使い方 

cosABC

={42+62-(2√7)2}/(2・4・6)

=1/2

よって∠ABC=60°になる。

余弦定理が使えるのは以上の2つの場面です。

 

余弦定理の公式と証明のまとめ

まず、基本は公式を覚えることが大事なので、しっかりと頭に叩き込みましょう。そして使い方を覚えて何度か練習すればマスター出来ます。

是非、復習してください!

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この記事の執筆者

ニックネーム:受験のミカタ編集部

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