加法定理問題 二倍角・半角・三倍角の解き方がすぐわかる!

数学 2016.3.7

今回は加法定理の問題を扱います。

sin(α+β)の基本形から、二倍角・半角、三倍角まで網羅してあります!

それでは、さっそくチャレンジ!

※公式一覧

黒板 因数分解

加法定理 証明・簡単な覚え方・語呂合わせより

 

【目次】

1.加法定理問題&解説【基本】

2.加法定理問題&解説【二倍角・半角】

3.加法定理問題&解説【三倍角】

 

 

1.加法定理問題&解説【基本】

【問題】

cos15°の値を求めよ。

 

【解答&解説】

cos15°

=cos(45°-30°)

=cos45° cos30° + sin45° sin30°

式

答え …(答)

 

2.加法定理問題&解説【二倍角・半角】

加法定理問題

【問題(1)】

cos2θの値を求めよ。

また、sin2θの値も求めよ。

 

【解答&解説】

cos2θ

=1-2sin2θ

=1-2・(3/5)2

=1-(18/25)

=7/25…(答)

また、

π/2 < θ < π であるから、

cosθ

=-問題

=-途中

=-4/5 …①

ゆえに、

sin2θ

= 2sinθcosθ

= 2・3/5・(-4/5)

=-24/25 …(答)

 

【問題(2)】

tan問題

 

 

【解答&解説】

π/2 < θ < πより、

π/4 < θ/2 < π/2 であるから、

tanθ/2 > 0 である。

よって、

tanθ/2

cos  (①よりcosθ=-4/5)

= 3 …(答)

 

3.加法定理問題&解説【三倍角】

【問題】

sin3θ=3sinθ-4sin3θ

となることを証明せよ。

 

【解答&解説】

sin3θをsin(2θ+θ)と考えましょう。

sin3θ

= sin(2θ+θ)

= sin2θcosθ + cos2θsinθ(加法定理)

= 2sinθcosθ・cosθ + (1-2sin2θ)・sinθ

= 2sinθ(1-sin2θ) + sinθ-2sin3θ

= 3sinθ-4sin3θ

 

いかがでしたか??

加法定理の公式の証明方法や、簡単な覚え方や語呂合わせを知りたい人はこちらをご覧ください

加法定理 証明・簡単な覚え方・語呂合わせ

 


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