【置換積分の公式】三角関数や対数関数の例題で置換積分をマスターしよう

２.置換積分の基礎②合成関数の微分

次に、置換積分をりかいするに当たり、合成数を微分することを考えます。
f(x)=(3x+2)^２を微分してみましょう。

普通に微分しようと思うのなら
f(x)=(3x+2)²
=9x²+12x+4
f’ (x)=18x+12となりますね。

しかしf(x)=(3x+2)⁷のような関数なら、開くことは可能ですし、そのあと微分をすることも簡単ですが、計算が大変です。
このような場合には、合成関数の微分法を利用します。

合成関数の微分法は以下のようになります。

分数のように書いているので勘違いしがちですが、 は y の導関数を表す記号であり、分数ではありません。

とはいえ右辺から左辺へは、分数のように約分している、という覚え方が簡単です。
概ね分数と同じように計算して問題ありません。
分母を払うこともできます。

この公式を言い換えると、次のようになります。

おおざっぱに言えば、「合成関数の微分＝中身を無視して微分×中身の微分」ということです。
先の例でいえば f(x)=(3x+2)² は g(x)=x² と h(x)=3x+2 の合成関数と考えて、

・g(x)=x² を普通に微分した g’ (x)=2x に h(x)=3x+2 を代入したg’ (3x+2)=2(3x+2)
・h(x)=3x+2 を微分したh’ (x)=3

を使うと、
f’ (x)={ g( h(x) ) }’
=g’ ( h(x)) h’ (x)
=2(3x+2)3
=18x+12
となり先の答えと一致します。

ですので、これが
f(x)=(3x+2)⁷ であれば、
f’ (x)=7(3x+2)⁶*(3x+2)’
=7(3x+2)⁶3
=21(3x+2)⁶

というように微分できます。

３.置換積分とは

置換積分法とは、以下のようなものです。

x=g(t) と置くとき、
   

置換積分は、合成関数の微分法が基になっています。

つまり、関数 に対して、x=g(t) のとき、y は t の関数となり、これを t で微分すれば、

となります。とはいえ、この式を覚える必要はありません。使い方を知っていれば十分です。

要するに、被積分関数が「（f(x) を使ったような関数）×（f'(x)を微分したもの）」になっていれば、積分できる可能性がある、ということです。

例えば、次のような問題を考えてみましょう。

sin²⁡X と cos⁡X のように考えれば、sin^2⁡X は sin⁡Xを使った関数であり、cosX は sin⁡X を微分したものと見ることができるため、これは置換積分により積分できます。

置換積分の例題の解答・解説

u=sin⁡X とおくと、であるから、du=cos⁡X dX となります。
求める式は

となります。
u は自分で置いた文字ですので、回答には使えません。

u=sin⁡X と置いたことから、

このように積分できます。ただし、Cは積分定数です。

以上から確認してほしいのは、置換積分をする際、被積分関数の「（f(x) を使ったような関数）×（f'(x)を微分したもの）」としたうちの「f'(x)を微分したもの」が、dx と合わさって du になる、ということです。

置換することで、この問題では面倒な cos⁡X が消えて、残りを楽に積分できるようになっています。

４.置換積分における置換の仕方

置換積分では有名な問題が多いので、それぞれ一度は解いておくべきでしょう。

先の「（f(x) を使ったような関数）×（f'(x)を微分したもの）」は、その一例にすぎません。

などが、有名な問題の例です。この形であれば、いちいち置換積分をしなくても、慣れれば簡単に答えが求められるようになります。

のような不定積分も、置換積分を使って解くことができますが、上と同様です。

これらはすべて、の形になっていますので、

例えばであれば、

のように積分することができます。

log⁡|x³+1|を微分したら、元の被積分関数にもどりますね。

これを公式化すると

となります。絶対値を忘れないようにして下さい。

積分は型にはまったものでないと計算できません。
ある程度は覚えておかないと、その場ではなかなか思いつかないものもあります。

① などの形

としてから
t=sin⁡x
で計算できます。

②　 などの形

のように、三角関数を含んだ複雑な形の場合
とおくことで

となりますので、三角関数をすべてtの式で置換することができます。

③ 、 の形

から、それぞれ

と変形でき、先に述べた「（f(x) を使ったような関数）×（f'(x)を微分したもの）」の形や、

の形になりますので、積分できます。

④  の形

これは非常に良く出てくる形ですので、必ず押さえておきましょう。
x=a sin⁡t
と置くことで、計算できるようになります。
dx=a cos⁡t dt
から

というように計算することができます。

⑤  の形

これもよく出る形です。
x=a tan⁡tと置くと、ですから、

となり、計算できます。

⑥ の形

と置くことで、

となりますので、これもtだけの式に変形することができます。

５.定積分の置換積分

定積分の置換積分でも、計算ですることは、基本的には不定積分と変わりません。

不定積分ができないと定積分はできないので、これまで説明してきたことは完璧にマスターしておきましょう。
定積分の置換積分で注意しなければならないのは、「積分範囲も変わる」ということです。

例えば、であれば、置換する際に積分範囲を考えなければなりません。
x が0からπまで変化する間に、u=sin⁡xから、u は sin⁡0 から sin⁡π まで、すなわち0から1まで変化します。
ですから、積分範囲も0と1に変えて計算しなければなりません。

と計算することができます。

６.おわりに

最後までご覧いただきありがとうございました。この記事では置換積分についてまとめました。

置換積分はいくつか有名なパターンがあり、それぞれ一度は解くべきです。
そうしなければ、「積分できないのでは？」「計算ミスかな？」と、無駄な時間を使ってしまいかねません。
頻出問題が網羅された問題集などを使い、演習をしましょう。

数学の試験は時間との勝負でもありますので、しっかり理解して解けるようになりましょう！

受験生の皆さん、頑張ってください。応援しています！