すぐに分かる!円の方程式の公式&証明

数学 2016.3.10
すぐに分かる!円の方程式の公式&証明

今回は円の方程式の公式と一般形の学習です。

円の方程式の公式・一般形は、高校数学で必ず覚えないといけない事柄の1つなので、必ず覚えましょう!

複雑な公式ではないので安心してくださいstar

一般形についても、そんなに難しくありません。

また、今回は誰でもわかるような丁寧な証明と練習問題も用意しました!

 

    1. 円の方程式 公式と一般形

    円の方程式の公式で覚えておかなくてはならないのが、以下の2つの公式です。

     

    円の方程式 公式中心(x, y)=(a, b)、半径r の円の方程式の公式

    (x-a)2 + (y-b)2 = r2

    円の方程式 一般形

    x2 + y2 + lx + my + n = 0

    ※l2 + m2 -4n>0の時に限る

     

      2. 円の方程式 証明

      証明はシンプルですが重要です。

      円の方程式の証明を図で解説

       

      上図から分かるように、Rの長さは三平方の定理を使って・・

       

      R=\sqrt {(X-A)^2+(Y-B)^2}

      両辺を2乗すると・・

      (X-A)+(Y-B)=R

      一般形の方は、上の式を展開し、まとめたものです。

      しかし、公式のところで記載しましたが、一つだけ条件(L+M-4N>0)があります。それを証明します。

      一般式を変形すると

      X^2+Y^2+LX+MY+N=(X+\frac{L}{2})^2+(Y+\frac{M}{2})^2-\frac{L^2}{4}-\frac{M^2}{4}+N=0 (X+\frac{L}{2})^2+(Y+\frac{M}{2})^2-\frac{L^2}{4}-\frac{M^2}{4}+N=0

      置き換えると・・

      (X+\frac{L}{2})^2+(Y+\frac{M}{2})^2=\frac{L^2}{4}+\frac{M^2}{4}-N \frac{L^2}{4}+\frac{M^2}{4}-N=R^2>0

      だから\frac{L^2}{4}+\frac{M^2}{4}-N>0L^2+M^2-4N>0

      どちらとも重要なので、円を見たら方程式が立てられるだけでなく、方程式を見たら、円がどのような円か分かるようにしましょう。

       

      3.練習問題

      最後に問題を解いてみましょう。

      【問題】

      点(-3, 4)を中心とし、原点を通るような円の方程式を求めて下さい。

       

      【解答・解説】

      円の半径をrとおく。

      中心が(-3, 4)で、原点を通るということは、半径rは点(-3, 4)と原点との距離である。

      円の方程式

      よって

      r2 = (-3)2 + 42 = 9+16 = 25

      よって求める円の方程式は

      (x+3)2 + (y-4)2 = 25 …(答)

       

        円の方程式のまとめ

        いかがでしたでしょうか?

        ご参考になれましたら嬉しいです。

        がんばれ、受験生!

         

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        この記事の執筆者

        ニックネーム:受験のミカタ編集部

        「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している「受験応援メディア」です。