円の接線の方程式と公式・これを読めば誰でも即理解！

今回は円の接線の方程式・公式を扱います。

円の方程式・公式は、高校数学で必ず覚えなければいけないことの１つです。

今回は誰でもわかる丁寧な証明と、練習問題も掲載しています。

ぜひこの機会で円の接線の方程式・公式をマスターしましょう

 

 

１. 円の接線の方程式・公式

円の接線の方程式・公式は超重要なので必ず覚えましょう。

 

円の接線の方程式・公式(X－A)² + (Y－B)² = R² 上の点(X₁, Y₁)の円の接線の方程式・公式

⇒ (X₁－A)(X－A) + (Y₁－B)(Y－B)=R²

※特に、中心が(0, 0)の円の方程式

⇒ X₁X + Y₁Y = R²

 

２. 円の接線の方程式・公式の証明

少し、複雑ですが、数学的に大事な平行移動の考え方が含まれているので、是非最後まで目を通して理解しましょう。

円1：(X-A)^２+(Y-B)^２=R^２上の点N(X0,Y0)の接線が(X0-A)(X-A)+(Y0-B)(Y-B)=R^２になる事を証明します。

【方針】

(1)円２：X^２+Y^２=R^２上の点M(X1,Y1)の接線がX1X+Y1Y=R^２になる事を証明する。

(2)X^２+Y^２=R^２上の点M(X1,Y1)の接線をX0、Y0で置き換える。

(3)(2)をX方向にA、Y方向にB平行移動する。

 

【証明】

方針(1)

以下の３パターンに分けて証明します。

①Y1=0の時

これは、X=-R、Rの時の２つあります。

X1X+Y1Y=Rを満たします。

②X1=0の時

これは、Y=-R、Rの時の２つあります。

X1X+Y1Y=Rを満たします。

③X≠0、Y≠0の時（X軸Y軸上にない時）

接線は、原点を通るL（傾き )に垂直になるので傾きは

接線はM(X1、Y1)を通るから

展開すると・・

X1、Y1は円上の点だから

よって

 

これで、方針（１）は終了しました。

次は、方針(2)：X^２+Y^２=R^２上の点M(X1,Y1)の接線をX0、Y0で置き換えます。

方針(2)

円１は円２をX方向にA、Y方向にB平行移動したものなので

円１上の点N(X0,Y0)は

X0=X1+A⇔X1=X0-A

Y0=Y1+B⇔Y1=Y0-B

だから、円２の接線をX0,Y0で表すと

(X0-A)X+(Y0-B)Y=R^２になります。

最後に、方針(3)を行います。

あとは、(2)をX方向にA、Y方向にB平行移動するだけです。

(X0-A)X+(Y0-B)Y=R^２がX方向にA、Y方向にB平行移動するので

(X0-A)(X-A)+(Y0-B)(Y-B)=R^２

になります。

３. 練習問題

【問題】
(X－2)² + (Y－4)² = 8 上の点（４、６）における円の接線の方程式を求めてください。

【解答】

公式に当てはめると

(4-2)(X-2)+(6-4)(X-4)=8

X-2+Y-4=4

X+Y=10

【公式を使わない場合】

 

中心Pから接点に向かう青い直線は接線と90°で交わっている。

まず、青い直線の傾きを求める。

傾きは、

よって接線の傾きは-1になる。

接線は(X,Y)=(4,6)を通るから

Y-6=-(X-4)

X+Y=10になる。

 

これは、接線の証明の方針(1)と同じ事をしていますので、圧倒的に公式を使った方が早いです。

公式は絶対に覚えましょう！

 

円の接線の方程式のまとめ

いかがでしたでしょうか？

ご参考になれましたら嬉しいです。

がんばれ、受験生！

この記事の執筆者

ニックネーム：受験のミカタ編集部

「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している「受験応援メディア」です。