円の接線の方程式と公式・これを読めば誰でも即理解!

数学 2016.3.10
円の接線の方程式と公式・これを読めば誰でも即理解!

今回は円の接線の方程式・公式を扱います。

円の方程式・公式は、高校数学で必ず覚えなければいけないことの1つです。

今回は誰でもわかる丁寧な証明と、練習問題も掲載しています。

ぜひこの機会で円の接線の方程式・公式をマスターしましょう鉛筆

 

 

    1. 円の接線の方程式・公式

    円の接線の方程式・公式は超重要なので必ず覚えましょう。

     

    円の接線の方程式・公式(X-A)2 + (Y-B)2 = R2 上の点(X1, Y1)の円の接線の方程式・公式

    (X1-A)(X-A) + (Y1-B)(Y-B)=R2

    ※特に、中心が(0, 0)の円の方程式

    X1X + Y1Y = R2

     

      2. 円の接線の方程式・公式の証明

      少し、複雑ですが、数学的に大事な平行移動の考え方が含まれているので、是非最後まで目を通して理解しましょう。

      円1:(X-A)+(Y-B)=R上の点N(X0,Y0)の接線が(X0-A)(X-A)+(Y0-B)(Y-B)=Rになる事を証明します。

      【方針】

      (1)円2:X+Y=R上の点M(X1,Y1)の接線がX1X+Y1Y=Rになる事を証明する。

      (2)X+Y=R上の点M(X1,Y1)の接線をX0、Y0で置き換える。

      (3)(2)をX方向にA、Y方向にB平行移動する。

       

      【証明】

      方針(1)

      以下の3パターンに分けて証明します。

      円の方程式 証明

      ①Y1=0の時

      これは、X=-R、Rの時の2つあります。

      X1X+Y1Y=Rを満たします。

      ②X1=0の時

      これは、Y=-R、Rの時の2つあります。

      X1X+Y1Y=Rを満たします。

      ③X≠0、Y≠0の時(X軸Y軸上にない時)

      円の方程式 証明②

      接線は、原点を通るL(傾き Y=\frac{Y1}{X1})に垂直になるので傾きは

      -1\div \frac{Y1}{X1}=-\frac{X1}{Y1}

      接線はM(X1、Y1)を通るから

      Y=-\frac{X1}{Y1}(X-X1)+Y1

      展開すると・・

      X1X+Y1Y=X1^2+Y1^2

      X1、Y1は円上の点だから

      X1^2+Y1^2=R^2

      よって

      X1X+Y1Y=R^2

       

      これで、方針(1)は終了しました。

      次は、方針(2)X+Y=R上の点M(X1,Y1)の接線をX0、Y0で置き換えます。

      方針(2)

      円1は円2をX方向にA、Y方向にB平行移動したものなので

      円1上の点N(X0,Y0)は

      X0=X1+A⇔X1=X0-A

      Y0=Y1+B⇔Y1=Y0-B

      だから、円2の接線をX0,Y0で表すと

      (X0-A)X+(Y0-B)Y=Rになります。

      最後に、方針(3)を行います。

      あとは、(2)をX方向にA、Y方向にB平行移動するだけです。

      円の方程式 証明③

      (X0-A)X+(Y0-B)Y=RX方向にA、Y方向にB平行移動するので

      (X0-A)(X-A)+(Y0-B)(Y-B)=R

      になります。

      3. 練習問題

      【問題】
      (X-2)2 + (Y-4)2 = 8 上の点(4、6)における円の接線の方程式を求めてください。

      【解答】

      公式に当てはめると

      (4-2)(X-2)+(6-4)(X-4)=8

      X-2+Y-4=4

      X+Y=10

      【公式を使わない場合】

      方程式 問題

       

      中心Pから接点に向かう青い直線は接線と90°で交わっている。

      まず、青い直線の傾きを求める。

      傾きは、

      \frac{6-4}{4-2}=1

      よって接線の傾きは-1になる。

      接線は(X,Y)=(4,6)を通るから

      Y-6=-(X-4)

      X+Y=10になる。

       

      これは、接線の証明の方針(1)と同じ事をしていますので、圧倒的に公式を使った方が早いです。

      公式は絶対に覚えましょう!

       

        円の接線の方程式のまとめ

        いかがでしたでしょうか?

        ご参考になれましたら嬉しいです。

        がんばれ、受験生!

        記事の内容でわからないところ、質問などあればこちらからお気軽にご質問ください。

        中の人がお答えします。

        アンケートにご協力ください!【外部検定利用入試に関するアンケート】

        ※アンケート実施期間:2021年1月13日~

        受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、中高生の学習事情についてのアンケート調査を行っています。今回はアンケートに答えてくれた方から10名様に500円分の図書カードをプレゼントいたします。


        アンケートに答える


        受験生の勉強に役立つLINEスタンプ発売中!

        受験生が使いやすい「受験のミカタ」勉強LINEスタンプ販売中!


        最新情報を受け取ろう!

        プッシュ通知を許可する

        受験のミカタから最新の受験情報を配信中!

        この記事の執筆者

        ニックネーム:受験のミカタ編集部

        「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している「受験応援メディア」です。