円の接線の方程式と公式・これを読めば誰でも即理解!

数学 2016.3.10

今回は円の接線の方程式・公式を扱います。

円の方程式・公式は、高校数学で必ず覚えなければいけないことの1つです。

今回は誰でもわかる丁寧な証明と、練習問題も掲載しています。

ぜひこの機会で円の接線の方程式・公式をマスターしましょう鉛筆

 

 

1. 円の接線の方程式・公式

円の接線の方程式・公式は超重要なので必ず覚えましょう。

 

円の接線の方程式・公式(X-A)2 + (Y-B)2 = R2 上の点(X1, Y1)の円の接線の方程式・公式

(X1-A)(X-A) + (Y1-B)(Y-B)=R2

※特に、中心が(0, 0)の円の方程式

X1X + Y1Y = R2

 

2. 円の接線の方程式・公式の証明

少し、複雑ですが、数学的に大事な平行移動の考え方が含まれているので、是非最後まで目を通して理解しましょう。

円1:(X-A)+(Y-B)=R上の点N(X0,Y0)の接線が(X0-A)(X-A)+(Y0-B)(Y-B)=Rになる事を証明します。

【方針】

(1)円2:X+Y=R上の点M(X1,Y1)の接線がX1X+Y1Y=Rになる事を証明する。

(2)X+Y=R上の点M(X1,Y1)の接線をX0、Y0で置き換える。

(3)(2)をX方向にA、Y方向にB平行移動する。

 

【証明】

方針(1)

以下の3パターンに分けて証明します。

円の方程式 証明

①Y1=0の時

これは、X=-R、Rの時の2つあります。

X1X+Y1Y=Rを満たします。

②X1=0の時

これは、Y=-R、Rの時の2つあります。

X1X+Y1Y=Rを満たします。

③X≠0、Y≠0の時(X軸Y軸上にない時)

円の方程式 証明②

接線は、原点を通るL(傾き Y=\frac{Y1}{X1})に垂直になるので傾きは

-1\div \frac{Y1}{X1}=-\frac{X1}{Y1}

接線はM(X1、Y1)を通るから

Y=-\frac{X1}{Y1}(X-X1)+Y1

展開すると・・

X1X+Y1Y=X1^2+Y1^2

X1、Y1は円上の点だから

X1^2+Y1^2=R^2

よって

X1X+Y1Y=R^2

 

これで、方針(1)は終了しました。

次は、方針(2)X+Y=R上の点M(X1,Y1)の接線をX0、Y0で置き換えます。

方針(2)

円1は円2をX方向にA、Y方向にB平行移動したものなので

円1上の点N(X0,Y0)は

X0=X1+A⇔X1=X0-A

Y0=Y1+B⇔Y1=Y0-B

だから、円2の接線をX0,Y0で表すと

(X0-A)X+(Y0-B)Y=Rになります。

最後に、方針(3)を行います。

あとは、(2)をX方向にA、Y方向にB平行移動するだけです。

円の方程式 証明③

(X0-A)X+(Y0-B)Y=RX方向にA、Y方向にB平行移動するので

(X0-A)(X-A)+(Y0-B)(Y-B)=R

になります。

3. 練習問題

【問題】
(X-2)2 + (Y-4)2 = 8 上の点(4、6)における円の接線の方程式を求めてください。

【解答】

公式に当てはめると

(4-2)(X-2)+(6-4)(X-4)=8

X-2+Y-4=4

X+Y=10

【公式を使わない場合】

方程式 問題

 

中心Pから接点に向かう青い直線は接線と90°で交わっている。

まず、青い直線の傾きを求める。

傾きは、

\frac{6-4}{4-2}=1

よって接線の傾きは-1になる。

接線は(X,Y)=(4,6)を通るから

Y-6=-(X-4)

X+Y=10になる。

 

これは、接線の証明の方針(1)と同じ事をしていますので、圧倒的に公式を使った方が早いです。

公式は絶対に覚えましょう!


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この記事の執筆者

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