平方完成のやり方4ステップ!二次関数のグラフの頂点がすぐ分かる記事!

数学 2016.9.14
平方完成のやり方4ステップ!二次関数のグラフの頂点がすぐ分かる記事!

平方完成について、数学が苦手な人でも理解できるように、慶應大学に通う筆者がわかりやすく解説します!

平方完成は、二次関数の頂点の座標を求めるときなど、数学の問題を解く過程で非常によく使います。

本記事では、平方完成のやり方(4ステップ)を順を追って丁寧に解説しています。

本記事を読み終える頃には、平方完成がスラスラできるようになっているでしょう。ぜひ最後までお読みください!

 

    1:平方完成のやり方

    平方完成とは、二次式ax2+bx+cを、a(x-p)2+qの形に変形することです。

    平方完成のイメージ画像

    平方完成をすることで、二次関数の頂点の座標などを求めることができます。

    では、どのようにして平方完成をすればよいのでしょうか?この章では、平方完成のやり方を、手順を追って丁寧に解説します。

     

    平方完成のやり方:手順①

    まずは、y=ax2+bx+cにおいて、

    x2の項と、bxの項を、x2の係数(a)でくくります。

    y = a(x2+b/a x)+c

    とします。

     

    平方完成のやり方:手順②

    次に、xの係数(b/a)の半分(b/2a)の二乗(b/2a)2を加えて引きます。

    y = a{x2 + 2・b/2a x + (b/2a)2 – (b/2a)2} + c

    となります。

     

    平方完成のやり方:手順③

    先ほどの式にある、-(b/2a)を{}の外へ出します。

    y = a{x2 + 2・b/2a x + (b/2a)2} – a(b/2a)2 + c

    ※aのつけ忘れに注意しましょう!

     

    平方完成のやり方:手順④

    {x2 + 2・b/2a x + (b/2a)2}に注目してください。

    これは、(x + b/2a)2と変形できますね。よって、

    y = a(x + b/2a)2 – {(b2-4ac)/4a}

    となり、a(x-p)2 + qの形に変形できました。

    平方完成ができましたね。これが平方完成の手順となります。

    次の章では、具体的な二次式を使って平方完成を行います。

     

      2:平方完成の具体例

      平方完成の練習として、y = 3x2 -12x + 6を平方完成してみます。

      先ほどの手順に沿って平方完成をしていきましょう。

      平方完成:手順①

      まずはx2とxの項を、x2の係数3でくくります。

      y = 3(x2-4x)+6

      となりますね。

       

      平方完成:手順②

      xの係数は-4ですね。なので、-4の半分である-2の二乗を加えて引きます。

      y = 3{x2 + 2・(-2x) + (-2)2 – (-2)2 } + 6

      となりますね。

       

      平方完成:手順③

      先ほどの式において、-(-2)2を{}の外に出します。

      y = 3{x2 + 2・(-2x) + (-2)2 } -12 + 6

      ですね。

       

      平方完成:手順④

      {x2 + 2・(-2x) + (-2)2 }に注目します。

      これは、(x-2)2と変形できますね。

      よって、

      y = 3(x-2)2 – 6

      となり、平方完成ができました。

       

      平方完成のまとめ

      平方完成の手順がお分かり頂けましたか?繰り返しになりますが、平方完成は、問題の途中でよく使用します。

      重要な事項なので、平方完成は必ずできるようにしておきましょう!

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      この記事の執筆者

      ニックネーム:受験のミカタ編集部

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