平方完成のやり方４ステップ！二次関数のグラフの頂点がすぐ分かる記事！

平方完成について、数学が苦手な人でも理解できるように、慶應大学に通う筆者がわかりやすく解説します！

平方完成は、二次関数の頂点の座標を求めるときなど、数学の問題を解く過程で非常によく使います。

本記事では、平方完成のやり方（４ステップ）を順を追って丁寧に解説しています。

本記事を読み終える頃には、平方完成がスラスラできるようになっているでしょう。ぜひ最後までお読みください！

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１：平方完成のやり方

平方完成とは、二次式ax²+bx+cを、a(x-p)²+qの形に変形することです。

平方完成をすることで、二次関数の頂点の座標などを求めることができます。

では、どのようにして平方完成をすればよいのでしょうか？この章では、平方完成のやり方を、手順を追って丁寧に解説します。

 

平方完成のやり方：手順①

まずは、y=ax²+bx+cにおいて、

x²の項と、bxの項を、x²の係数（a）でくくります。

y = a(x²+b/a x)+c

とします。

 

平方完成のやり方：手順②

次に、xの係数（b/a）の半分（b/2a）の二乗（b/2a）²を加えて引きます。

y = a{x² + 2・b/2a x + (b/2a)² – (b/2a)²} + c

となります。

 

平方完成のやり方：手順③

先ほどの式にある、-(b/2a)を｛｝の外へ出します。

y = a{x² + 2・b/2a x + (b/2a)²} – a(b/2a)² + c

※aのつけ忘れに注意しましょう！

 

平方完成のやり方：手順④

{x² + 2・b/2a x + (b/2a)²}に注目してください。

これは、(x + b/2a)²と変形できますね。よって、

y = a(x + b/2a)² – {(b²-4ac)/4a}

となり、a(x-p)² + qの形に変形できました。

平方完成ができましたね。これが平方完成の手順となります。

次の章では、具体的な二次式を使って平方完成を行います。

 

２：平方完成の具体例

平方完成の練習として、y = 3x² -12x + 6を平方完成してみます。

先ほどの手順に沿って平方完成をしていきましょう。

平方完成：手順①

まずはx²とxの項を、x²の係数3でくくります。

y = 3(x²-4x)+6

となりますね。

 

平方完成：手順②

xの係数は-4ですね。なので、-4の半分である-2の二乗を加えて引きます。

y = 3{x² + 2・(-2x) + (-2)² – (-2)² } + 6

となりますね。

 

平方完成：手順③

先ほどの式において、-(-2)²を{}の外に出します。

y = 3{x² + 2・(-2x) + (-2)² } -12 + 6

ですね。

 

平方完成：手順④

{x² + 2・(-2x) + (-2)² }に注目します。

これは、(x-2)²と変形できますね。

よって、

y = 3(x-2)² – 6

となり、平方完成ができました。

 

平方完成のまとめ

平方完成の手順がお分かり頂けましたか？繰り返しになりますが、平方完成は、問題の途中でよく使用します。

重要な事項なので、平方完成は必ずできるようにしておきましょう！

この記事の執筆者

ニックネーム：受験のミカタ編集部

「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している「受験応援メディア」です。