平方完成のやり方4ステップを慶應生が解説!具体例付き

数学 2016.9.14

平方完成について、数学が苦手な人でも理解できるように、慶應大学に通う筆者がわかりやすく解説します!

平方完成は、二次関数の頂点の座標を求めるときなど、数学の問題を解く過程で非常によく使います。

本記事では、平方完成のやり方(4ステップ)を順を追って丁寧に解説しています。

本記事を読み終える頃には、平方完成がスラスラできるようになっているでしょう。ぜひ最後までお読みください!

【 目次 】

1:平方完成のやり方

2:平方完成の具体例

 

1:平方完成のやり方

平方完成とは、二次式ax2+bx+cを、a(x-p)2+qの形に変形することです。

平方完成のイメージ画像

平方完成をすることで、二次関数の頂点の座標などを求めることができます。

では、どのようにして平方完成をすればよいのでしょうか?この章では、平方完成のやり方を、手順を追って丁寧に解説します。

 

平方完成のやり方:手順①

まずは、y=ax2+bx+cにおいて、

x2の項と、bxの項を、x2の係数(a)でくくります。

y = a(x2+b/a x)+c

とします。

 

平方完成のやり方:手順②

次に、xの係数(b/a)の半分(b/2a)の二乗(b/2a)2を加えて引きます。

y = a{x2 + 2・b/2a x + (b/2a)2 – (b/2a)2} + c

となります。

 

平方完成のやり方:手順③

先ほどの式にある、-(b/2a)を{}の外へ出します。

y = a{x2 + 2・b/2a x + (b/2a)2} – a(b/2a)2 + c

※aのつけ忘れに注意しましょう!

 

平方完成のやり方:手順④

{x2 + 2・b/2a x + (b/2a)2}に注目してください。

これは、(x + b/2a)2と変形できますね。よって、

y = a(x + b/2a)2 – (b2-4ac/4a)

となり、a(x-p)2 + qの形に変形できました。

平方完成ができましたね。これが平方完成の手順となります。

次の章では、具体的な二次式を使って平方完成を行います。

 

2:平方完成の具体例

平方完成の練習として、y = 3x2 -12x + 6を平方完成してみます。

先ほどの手順に沿って平方完成をしていきましょう。

平方完成:手順①

まずはx2とxの項を、x2の係数3でくくります。

y = 3(x2-4x)+6

となりますね。

 

平方完成:手順②

xの係数は-4ですね。なので、-4の半分である-2の二乗を加えて引きます。

y = 3{x2 + 2・(-2x) + (-2)2 – (-2)2 } + 6

となりますね。

 

平方完成:手順③

先ほどの式において、-(-2)2を{}の外に出します。

y = 3{x2 + 2・(-2x) + (-2)2 } -12 + 6

ですね。

 

平方完成:手順④

{x2 + 2・(-2x) + (-2)2 }に注目します。

これは、(x-2)2と変形できますね。

よって、

y = 3(x-2)2 – 6

となり、平方完成ができました。

 

いかがでしたか?

平方完成の手順がお分かり頂けましたか?繰り返しになりますが、平方完成は、問題の途中でよく使用します。

重要な事項なので、平方完成は必ずできるようにしておきましょう!


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