サイクロイドと曲線の媒介変数表示とは?【高校数学】

数学 2019.2.8

大学受験において、サイクロイドの出題頻度はそれほど高くありませんが、媒介変数はしばしば出題されます。

サイクロイドは、通常の媒介変数を使わない表し方より、媒介変数表示のほうが簡単に表せる曲線です。

媒介変数表示は数学Bと数学Ⅲでそれぞれ扱います。
数学Bでは媒介変数表示の基本だけ学び、本番は数学Ⅲです。

この記事では、そんなサイクロイドと曲線の媒介変数表示についてまとめます。

 

1.サイクロイドの基礎①媒介変数表示とは

まずは、サイクロイドの問題が出た際の解法になる、媒介変数表示について解説していきます。

 

高校の数学の教科書で、媒介変数表示が最初に出てくるのは、数学Bのベクトル方程式の分野です。

直線のベクトル方程式を通じて、媒介変数表示の復習をしておきましょう。

 

媒介変数表示の本質の一側面は「直線や曲線は点の集まりである」ということです。

例えば、円の定義として「平面上において中心から距離が一定の点をすべて集めた図形が円である」と習ったと思います。

これも、曲線が点の集まりであることを表している定義です。

後にまとめますが、円の媒介変数表示を見ても、「直線や曲線は点の集まりである」ことが表されています。

 

直線のベクトル方程式は以下のように表されます。

定点媒介変数表示の説明、aベクトルに対して、でないベクトルに平行な直線を考えます。

この直線上の任意の点をとおくと、は平行となります。

サイクロイド、媒介変数表示の説明

つまり、

サイクロイド、媒介変数表示

となる実数tが存在します。ですから、

サイクロイド、媒介変数表示

となります。これが、直線を表します。

 

この式は、「直線上の点Pは、が表す点Aからの方向にいくらか進んだところにある」ということになりますね。

この「いくらか」は、tの値によって決まります。

 

t の値が1ならの正の方向に ||×1 だけ進んだ場所に点Pがあるでしょうし、tの値が -2なら  の負の方向に ||×2だけ進んだ位置に点Pがあることになります。

t が全ての実数値をとるため、点Pが直線上のあらゆる位置に移動します。

 

ここで、点Aの座標を( x1,y1 )、点Pの座標を( x,y )、=( l,m ) とおくと

媒介変数表示の考え方

となります。

 

x1,y1,l,mは定数ですので、tの値がきまれば、点Pの座標であるx, yの値が決まります。

ここからtを消去すると、

となりますから、確かに直線の方程式を表すことがわかります。

 

この

媒介変数表示の解説

をみると、「 tが全ての実数値をとることで、点Pが直線上のあらゆる位置に移動」することが表されていますね。

この式を直線の媒介変数表示といい、tを媒介変数といいます。

 

ちなみに、媒介変数と呼ぶのは、文字通り「媒介」する「変数」だからです。

「媒介」とは、「両方の間に立って橋渡しをすること」です。

媒介変数表示の式を見ると、xとyは直接的に方程式でつながっているわけではありません。

しかし、xはtの値によって決まりますし、yもtの値によって決まります。

つまりtという変数がxとyの橋渡しをしていることになりますね。

ですから、tを媒介変数と言い、媒介変数tを用いて直線の方程式を表しているので、媒介変数表示といいます。

 

2.サイクロイドの基礎知識②曲線の媒介変数表示

媒介変数は色々な曲線を表すことができます。

通常の方程式では表しにくいような曲線を表せることもあります。

その一例がサイクロイドやアステロイド、カージオイド(心臓形)などです。

数学Ⅲで習う、代表的な媒介変数表示は以下のとおりです。

 

θを媒介変数とするとき、

円の媒介変数表示

円の媒介変数表示

 

楕円の媒介変数表示

楕円の媒介変数表示

楕円の媒介変数表示の座標

 

双曲線の媒介変数表示

双曲線の媒介変数表示

双曲線の媒介変数表示の座標

それぞれの式から媒介変数 θ を消去すると、それぞれの標準形になるはずです。

 

例えば、双曲線の媒介変数表示

双曲線の媒介変数表示

から媒介変数 θ を消去すると、

双曲線の媒介変数表示の計算

となり、確かに双曲線の標準形になります。

 

しかし、これらの媒介変数表示をいちいち覚えておく必要はありません。

ある曲線を表す媒介変数表示は、一通りではないからです。

 

例えば、双曲線の媒介変数表示は、他にも

双曲線の媒介変数表示の例

などが考えられます。

この媒介変数表示から標準形に直すのは少し難しいですが、ぜひチャレンジしてみてください。

 

3.サイクロイド・リサージュ曲線・アステロイド・カージオイドとは?

数学Ⅲの教科書には、サイクロイドという曲線が紹介されていると思います。

定義については後に説明します。

サイクロイドや、よく一緒に紹介されるリサージュ曲線、アステロイド、カージオイドを、それぞれ媒介変数表示で表すと、以下のような式になります。

 

サイクロイドの媒介変数表示

サイクロイドの媒介変数表示

サイクロイドの媒介変数表示の座標

 

リサージュ曲線の媒介変数表示

リサージュ曲線の媒介変数表示

リサージュ曲線の媒介変数表示の座標

 

アステロイド(星芒形)の媒介変数表示

アステロイドの媒介変数表示

アステロイド(星芒形)媒介変数表示の座標

カージオイド(心臓形)の媒介変数表示

x=a(1+cos⁡θ)cos⁡θ

カージオイド(心臓形)の媒介変数表示の座標

 

4.サイクロイドとは?

サイクロイドとは、「半径aの円が定曲線上を滑ることなく回転してゆくとき、円周上の定点Pが描く図形」で表されます。

 

みなさんは、ぜひ、紙とペンを用意してください。
この先はグラフを書きながら読むと、より理解しやすくなります。

xy平面上に点 ( 0, a ) を中心とする半径aの円があります。

この円上の ( 0, 0 ) の位置に点Pがあります。

この円がx軸正方向に、滑らないで転がってゆきます。

すると点Pは円の回転に応じて移動します。

この点Pが描く軌跡がサイクロイドです。

サイクロイドの書き方

円が少し回転したときのことを考えましょう。

下の図を見てください。

サイクロイドの媒介変数表示を図解

円が角θ ラジアンだけ回転したときの点Pの位置が ( x, y ) です。

 

ここで、xとyの座標は以下のように表されます。

x=OT-PQ
y=CT-CQ

PQの長さは、CP = a(円の半径)と∠PCT =  から三角関数の定義より、

サイクロイドの考え方

OTの長さは、円が滑らずに回転しているので、弧弧PTの長さと一致します。

サイクロイドの計算、弧の長さ

これは、数学Ⅱでラジアンが初めて出てきたときに学習した式ですので、わからなければ復習しておきましょう。

 

よって、点Pの座標は

x=OT-PQ
=aθ-a sin⁡θ
=a(θ-sin⁡θ )
y=a-a cos⁡θ
=a(1-cos⁡θ )

であり、先に紹介したサイクロイドの式

サイクロイドの媒介変数表示

が求められました。

 

おわりに

最後までご覧くださってありがとうございました。

この記事では、サイクロイドについてまとめました。

大学受験におけるサイクロイドの出題頻度はそれほど高くありませんが、媒介変数はしばしば出題されます。

しっかり計算できることが大切です。


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この記事の執筆者

ニックネーム:受験のミカタ編集部

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