【数Ⅱ】円の基本(円の方程式&円の接線)を完全マスター!公式と証明を丁寧に解説します!

数学 2015.9.10
【数Ⅱ】円の基本(円の方程式&円の接線)を完全マスター!公式と証明を丁寧に解説します!

円に関する問題は、基礎問題から三角関数を絡めた応用問題まで出題されるため、多くの大学で問題が扱われています。2015年度は、早稲田大学社会科学部東京大学文系などで出題されました。今年度も多くの大学で出題される可能性があります。

そこで今回は、円のなかでも最も頻度が高い円の方程式と円の接線の公式、証明を紹介します。特に、円の接線の公式は覚えているか覚えていないかで解答スピードに大きな差が出ます。今回の記事でしっかりマスターしましょう!

    1. 円の方程式(公式)

    円の方程式で覚えておかなくてはならないのが、以下の2つの式です。

    【円の方程式】

    中心(X, Y)=(A, B)で半径Rの円の方程式

    (X-A)2+(Y-B)2=R2

    円の一般式

    X2+Y2+LX+MY+Z=0

    ※L2+M2-4M>0の時に限る

     

      2. 円の方程式(証明)

      証明は至ってシンプルです。

      円の方程式 証明

       

      上図から分かるように、Rの長さは三平方の定理を使って・・

       

      R=\sqrt {(X-A)^2+(Y-B)^2}

      両辺を2乗すると・・

      (X-A)+(Y-B)=R

      一般形の方は、上の式を展開し、まとめたものです。

      しかし、公式のところで記載しましたが、一つだけ条件(L+M-4N>0)があります。それを証明します。

      一般式を変形すると

      X^2+Y^2+LX+MY+N=(X+\frac{L}{2})^2+(Y+\frac{M}{2})^2-\frac{L^2}{4}-\frac{M^2}{4}+N=0 (X+\frac{L}{2})^2+(Y+\frac{M}{2})^2-\frac{L^2}{4}-\frac{M^2}{4}+N=0

      置き換えると・・

      (X+\frac{L}{2})^2+(Y+\frac{M}{2})^2=\frac{L^2}{4}+\frac{M^2}{4}-N \frac{L^2}{4}+\frac{M^2}{4}-N=R^2>0

      だから\frac{L^2}{4}+\frac{M^2}{4}-N>0L^2+M^2-4N>0

      どちらとも重要なので、円を見たら方程式が立てられるだけでなく、方程式を見たら、円がどのような円か分かるようにしましょう。

       

      3. 円の接線(方程式)

      円の接線の方程式も大切なので必ず覚えましょう。

      円の接線の方程式

      (X-A)2+(Y-B)2=R2の点(X1, Y1)の円の接線の方程式

      (X1-A)(X-A)+(Y1-B)=R2

      特に、中心が(0, 0)の円の接線の方程式

      X1X+Y1Y = R2

       

       

        4. 円の接線(証明)

        少し、複雑ですが、数学的に大事な平行移動の考え方が含まれているので、是非最後まで目を通して理解しましょう。

        円1:(X-A)+(Y-B)=R上の点N(X0,Y0)の接線が(X0-A)(X-A)+(Y0-B)(Y-B)=Rになる事を証明します。

        【方針】

        (1)円2:X+Y=R上の点M(X1,Y1)の接線がX1X+Y1Y=Rになる事を証明する。

        (2)X+Y=R上の点M(X1,Y1)の接線をX0、Y0で置き換える。

        (3)(2)をX方向にA、Y方向にB平行移動する。

         

        【証明】

        方針(1)

        以下の3パターンに分けて証明します。

        円の方程式 証明

        ①Y1=0の時

        これは、X=-R、Rの時の2つあります。

        X1X+Y1Y=Rを満たします。

        ②X1=0の時

        これは、Y=-R、Rの時の2つあります。

        X1X+Y1Y=Rを満たします。

        ③X≠0、Y≠0の時(X軸Y軸上にない時)

        円の方程式 証明②

        接線は、原点を通るL(傾き Y=\frac{Y1}{X1})に垂直になるので傾きは

        -1\div \frac{Y1}{X1}=-\frac{X1}{Y1}

        接線はM(X1、Y1)を通るから

        Y=-\frac{X1}{Y1}(X-X1)+Y1

        展開すると・・

        X1X+Y1Y=X1^2+Y1^2

        X1、Y1は円上の点だから

        X1^2+Y1^2=R^2

        よって

        X1X+Y1Y=R^2

         

        これで、方針(1)は終了しました。

        次は、方針(2)X+Y=R上の点M(X1,Y1)の接線をX0、Y0で置き換えます。

        方針(2)

        円1は円2をX方向にA、Y方向にB平行移動したものなので

        円1上の点N(X0,Y0)は

        X0=X1+A⇔X1=X0-A

        Y0=Y1+B⇔Y1=Y0-B

        だから、円2の接線をX0,Y0で表すと

        (X0-A)X+(Y0-B)Y=Rになります。

        最後に、方針(3)を行います。

        あとは、(2)をX方向にA、Y方向にB平行移動するだけです。

        円の方程式 証明③

        (X0-A)X+(Y0-B)Y=RX方向にA、Y方向にB平行移動するので

        (X0-A)(X-A)+(Y0-B)(Y-B)=R

        になります。

          5. 練習問題

          方程式 問題

          【解答】

          公式に当てはめると

          (4-2)(X-2)+(6-4)(X-4)=8

          X-2+Y-4=4

          X+Y=10

          【公式を使わない場合】

          方程式 問題

           

          中心Pから接点に向かう青い直線は接線と90°で交わっている。

          まず、青い直線の傾きを求める。

          傾きは、

          \frac{6-4}{4-2}=1

          よって接線の傾きは-1になる。

          接線は(X,Y)=(4,6)を通るから

          Y-6=-(X-4)

          X+Y=10になる。

          これは、接線の証明の方針(1)と同じ事をしていますので、圧倒的に公式を使った方が早いです。

          公式は絶対に覚えましょう!

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          この記事の執筆者

          ニックネーム:受験のミカタ編集部

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