等比数列とは?一般項の求め方や和の公式を練習問題と解説でマスターしよう!

数学 2015.12.10
等比数列とは?一般項の求め方や和の公式を練習問題と解説でマスターしよう!

今回は高校数学における等比数列の公式を扱います。

等比数列では、必ず覚えておくべき公式が3つあります!以下がその3つの公式です。

①:一般項
初項をa , 公比をrとする。すると、n番目の項 aは、

an = arn-1

練習問題を使っての詳しい解説はこちら

 

②:等比中項
数列a , b , c が等差数列 ⇔

b2 = ac

練習問題を使っての詳しい解説はこちら

 

③:等比数列の和
初項をa , 公比をr  とすると、初項から第n項までの和Sn は、

等比公式修正版

練習問題を使っての詳しい解説はこちら

 

 

    ①等比数列:一般項

    [練習問題]
    等比数列4 , -8 , 16… の一般項anを求めよ。また、第11項を求めよ。

     

    [解答&解説]

    まず、一般項は上記の公式より
    an = 4・(-2)n-1
    (4が初項で、-2が公比である。)

    また、第11項は求めた式にn=11を代入して、
    a11 = 4・(-2)10 = 4・1024 = 4096
    ※210 = 1024は頻出なので暗記しましょう!

     

      ②等比数列:等比中項

      [練習問題]
      3つの整数a , b , cはこの順で等比数列になり、c , a , bの順で等差数列になる。abc=125となるときa , b , cを求めよ。

       

      [解答&解説]

      上記の公式より、
      b= ac …①
      また、数列c , a , bが等差数列をなすから
      2a = c + b …②等差数列の和と公式(問題と丁寧な解説付き)  の等差中項を参照】
      問題文より
      abc = 125…③
      これで①~③の連立方程式ができた。①を③に代入して
      b3 = 125 ∴ b = 5
      これを①と②に代入して、
      ac = 25 , c = 2a – 5 より
      a(2a – 5)- 25 = 0 これを解いて
      a = 5 , -5/2
      しかし、問題文よりaは整数なのでa = 5
      ac = 25 より、c= 5

       

      ③等比数列:和の公式

      [練習問題]
      等比数列a , 2a2 , 4a3 … の初項から第n項までの和Snを求めよ。

       

      [解答&解説]

      解答

       

       

      いかがでしたか?覚えるべき公式はたったの3つでした。特に等比数列の和については、公比が1かどうかで場合分けする必要があるので、そこには注意してくださいネ♪
      また、等比数列と関連たものとしては等差数列もあります。ぜひ、等差数列の内容もこれを機に確認しておいてください。
      『等差数列の和と公式(問題と丁寧な解説付き)』

       

       

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      この記事の執筆者

      ニックネーム:やっすん

      早稲田大学商学部4年
      得意科目:数学