5分で分かる!解と係数の関係を公式&問題で解説します!

数学 2015.9.5

解と係数の関係は、勉強が進んでいる受験生にとっては当たり前の公式です。まずは、公式を覚えて、最終的には問題を自力で解けるようにしましょう!

 

1. 解と係数の関係(公式)

解と係数の関係の公式は非常に重要なので、必ず覚えてください。

解と係数の関係

<証明>

まずは、解と係数の関係の証明をします。

AX+BX+C=0の解は、解の公式より

X=\frac{-B\pm\sqrt {B^2-4AC}}{2A}になります。

だから、

\alpha+\beta=\frac{-B+\sqrt {B^2-4AC}}{2A}+\frac{-B-\sqrt {B^2-4AC}}{2A}=-\frac{2B}{2A}=-\frac{B}{A} \alpha\times\beta=\frac{-B+\sqrt {B^2-4AC}}{2A}\times\frac{-B-\sqrt {B^2-4AC}}{2A}=\frac{B^2-(B^2-4AC)}{(2A)^2}=\frac{4AC}{4A^2}=\frac{C}{A}

になります。

次は二次式の因数分解を証明します。こちらも非常に簡単です。

AX^2+BX+C=A(X^2+\frac{B}{A}X+\frac{C}{A})
(解と係数の関係の\alpha+\beta=-\frac{B}{A},\alpha\times\beta=\frac{C}{A}を代入して・・)

=A{X-(α+β)X+αβ}=A(X-α)(X-β)

AX+BX+C=A(X-α)(X-β)は、恒等式(忘れてしまった方は
すらすら解ける! 恒等式・2つの解き方」をご覧ください。)
なので、Xにどんな数をを代入しても両辺が等しくなります。

 

2. 解と係数の関係(問題)

解と係数の関係の問題は、最終的に、
\alpha+\beta=-\frac{B}{A},\alpha\times\beta=\frac{C}{A}

が使えるように持っていく事が大事です。

問題を解いてみましょう。

解と係数の関係 ②

まずは、解と係数の関係でα+β,αβを求めます。

α+β=3 ,αβ=7

(1)α2がα+β,αβだけで最終的に表せるように最終的に持っていきましょう。だからα=(α+β)-2αβ=9-14=-5になります。

(2)これも(1)と同様に解いていきます。α³+β³=(α+β)³-3αβ(α+β)=3³-3×7×3=-36

(3)これは、少し難しいです。

このまま{(\alpha-3)}^4+{(\beta-3)}^4を展開しても、式が複雑になってしまうので、αー3=A, βー3=Bに置き換えましょう。

A+B=(αー3)+(βー3)=α+β-6=-3

AB=(αー3)(βー3)=αβ-3(α+β)+9=7-3×3+9=7

よって

{(\alpha-3)}^4+{(\beta-3)}^4=A^4+B^4=(A^2+B^2)^2-2\times A^2\times B^2={(A+B)^2-2AB}-2\times A^2\times B^2=9-14-2\times 49=-103になります。

いかがですか?解と係数の関係は、この知識を知らないと解けない難関問題がたくさんありますので、絶対に覚えましょう!


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この記事の執筆者

ニックネーム:受験のミカタ編集部

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