５分で分かる！解と係数の関係を公式&問題で解説します！

解と係数の関係は、勉強が進んでいる受験生にとっては当たり前の公式です。まずは、公式を覚えて、最終的には問題を自力で解けるようにしましょう！

1. 解と係数の関係（公式）

解と係数の関係の公式は非常に重要なので、必ず覚えてください。

＜証明＞

まずは、解と係数の関係の証明をします。

AX^２+BX+C=0の解は、解の公式より

になります。

だから、

になります。

次は二次式の因数分解を証明します。こちらも非常に簡単です。

（解と係数の関係のを代入して・・）

=A{X^２-(α+β)X+αβ}=A(X-α)(X-β)

AX^２+BX+C=A(X-α)(X-β)は、恒等式（忘れてしまった方は「
すらすら解ける！　恒等式・２つの解き方」をご覧ください。）
なので、Xにどんな数をを代入しても両辺が等しくなります。

2. 解と係数の関係（問題）

解と係数の関係の問題は、最終的に、

が使えるように持っていく事が大事です。

問題を解いてみましょう。

まずは、解と係数の関係でα+β,αβを求めます。

α+β=3 ,αβ=7

（１）α^２+β^２がα+β,αβだけで最終的に表せるように最終的に持っていきましょう。だからα^２+β^２=(α+β)^２-2αβ=9-14=-5になります。

（２）これも（１）と同様に解いていきます。α³+β³=(α+β)³-3αβ(α+β)=3³-3×7×3=-36

（３）これは、少し難しいです。

このままを展開しても、式が複雑になってしまうので、αー３＝A, βー3=Bに置き換えましょう。

A+B=(αー３)+(βー3)=α+β-6=-3

AB=(αー３)(βー３)＝αβ-3(α+β)+9=7-3×3+9=7

よって

になります。

解と係数の関係のまとめ

いかがですか？解と係数の関係は、この知識を知らないと解けない難関問題がたくさんありますので、絶対に覚えましょう！