数学的帰納法とは？例題で早稲田生が丁寧に解説！不等式の問題も！

高校数学における数学的帰納法について、早稲田大学に通う筆者が丁寧に解説します。

数学が苦手な人でも数学的帰納法が理解できるように、例題を使いながらわかりやすく解説します。

本記事を読めば、数学的帰納法とは何か・証明方法（解き方）が理解できるでしょう。

ぜひ最後まで読んで、数学的帰納法を理解してください！

 

1：数学的帰納法とは？解き方がわかる！

まずは数学的帰納法の解き方から解説します。

数学的帰納法の解き方は１つしかないので、必ず暗記してください！

●自然数nに関する命題Pがすべての自然数について成り立つことを証明するには、以下の２つを示す。

①n=1の時、命題Pが成り立つことを証明する。

②n=kの時、命題Pが成り立つと仮定すると、n=k+1の時も命題Pが成り立つ。

以上が数学的帰納法の解き方です。この手順は必ず暗記しましょう！

①と②を示すことによって、①より、

n=1の時に命題Pが成り立つ

→②よりn=2の時も命題Pが成り立つ

→②よりn=3の時も命題Pが成り立つ

→・・・

したがって、すべての自然数nについて命題Pが成り立つと言える。

というわけです。以上のような証明方法を数学的帰納法と呼んでいます。

 

2：数学的帰納法の例題

では、以上を踏まえて数学的帰納法の例題を解いてみましょう。

例題

nが自然数のとき、

2³+4³+6³+・・・+(2n)³ = 2n²(n+1)²

が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。

証明

まずはn=1の時に成り立つかを確認します。

①n=1のとき

（左辺）= 2³ = 8

（右辺）= 2・1²・2² = 8

なので、命題は成り立つ。

②n=kのとき、命題が成り立つと仮定すると、

2³+4³+6³+・・・+(2k)³ = 2k²(k+1)²・・・（※）

となる。ここで、n=k+1のときを考えると、（※）より、

2³+4³+6³+・・・+(2k)³+{2(k+1)}³

=2k²(k+1)²+{2(k+1)}³

（※の両辺に{2(k+1)}³を加えています。）

=2(k+1)²{(k+1)+1}²

となるので、n=k+1のときにも命題は成り立つ。

よって、数学的帰納法よりすべての自然数nについて命題は成り立つことが証明された。

 

いかがでしたか？

数学的帰納法の流れが理解できましたか？

数学的帰納法では、

①n=1で命題が成り立つことを確認。

②n=kで命題が成り立つと仮定して、n=k+1でも命題が成り立つことを証明する。

以上の流れを必ず覚えておきましょう！

 

3：数学的帰納法の例題（不等式の証明問題）

では、今度は不等式に関する数学的帰納法の例題を解いてみましょう！

例題

3以上のすべての自然数nについて、以下の不等式が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。

3^n-1 > n²-n+2

証明

「nが〇〇以上」という条件の場合は、n=1からスタートするのではなく、n=〇〇からスタートします。

そして、n=k（kは〇〇以上）を仮定し、n=k+1を証明します。

①n=3のとき、

（左辺）=3²=9

（右辺）=3²-3+1=8

なので、命題は成り立つ。

②n=k（kは3以上）のとき、命題が成り立つと仮定すると、

3^k-1 > k²-k+2・・・（※）

n=k+1のとき、命題において、（左辺）ー（右辺）を考えると、

3^k-{(k+1)²-(k+1)+2}

= 3・3^k-1-(k²+k+2)

>3(k²-k+2)-(k²+k+2)

=2k²-4k+4

=2(k²-2k+2)

=2(k-1)²+2 > 0

したがって、n=k+1のときでも命題は成り立つ。

よって、数学的帰納法より3以上のすべての自然数nについて命題は成り立つことが証明された。

 

いかがでしたか？

数学的帰納法とは何か・証明問題の解き方が理解できましたか？

数学的帰納法では

①n=1のとき

②n=kで命題が成り立つと仮定。そして、n=k+1で成り立つことを証明

という流れです。以上の数学的帰納法の流れは必ず覚えておきましょう！

この記事の執筆者

ニックネーム：やっすん

早稲田大学商学部4年
得意科目：数学