命題(逆・裏・対偶・真偽)とは何か?わかりやすく図説します!

数学 2015.12.11
命題(逆・裏・対偶・真偽)とは何か?わかりやすく図説します!

「対偶、逆、裏がごっちゃになってしまう!」「命題の真偽が正しく判断出来ない。」

命題の分野では、用語の意味がごっちゃになってしまったり、真偽が正しく判断出来なかったりすることがあると思います。しかし、そんな用語も図式化して頭の中で、整理してしまえばもう間違える事はありません。

今回学習出来る事は以下の通りです。

 

    1. 命題の用語まとめ(2分)

    命題の用語を簡単に整理しましょう。

     

    1-1. 命題とは?

    命題は、正しいか正しくないかが数学的に決まる文章や数式の事です。

    以下の2つのうちどちらが命題だか分かりますか?

    ①7はラッキーな数字だ。

    ②4と2は偶数である。

    もちろん②ですね。①は主観的で、論理的に裏付けされたものではありません。②は数学的に正しいので、命題になります。

    命題では「P⇒Q」でPを仮定、Qを結論と定義します。

    仮定結論

     

     

    1-2. 命題の真偽

    命題が正しい時を、間違っているときをと言います。

    P⇒Qが真の時は、以下が成り立ちます。

    真偽

    条件Pは条件Qに含まれているということです。

    それでは、簡単な実践です。命題の真偽を判断してみてください。
    ※X、Yは実数とします。

    (1)X+Y>0、XY>0ならば、X>0、Y>0になる。

    (2)X² =16ならば、X=4になる。

     

    【解答】

    (1)、XY>0の時は(X>0、Y>0)または(X<0、Y<0)。

    だから、X+Y>0が成り立つのは、X>0∩Y>0の時だけです。。

    (2)X² =16の時は、X=±4が成り立ちます。

     

    1-3. 命題 否定

    条件Pに対して、「Pでない」条件は否定と表す。これを条件Pを否定すると言います。この時、以下の関係が成り立ちます。

    否定

    これは、ドモルガンの法則と同じです。ドモルガンの法則が分からない人は「集合 必ず覚えなくてはならない6つの記号&3つの法則」を参照してください。

     

     

      2.逆・裏・対偶はもう迷わない(2分)

      逆・裏・対偶は混乱し易いですが、図を頭の中にイメージ出来れば間違える事は減ります。

       

      2.1 逆・裏・対偶 図

      命題PQに対して
      QP
      逆・裏・対偶逆・裏・対偶
      逆・裏・対偶
      逆・裏・対偶対偶と言います。

      これを図で表したのが以下になります。

      逆・裏・対偶

      この時、覚えてほしいのが、「命題の真偽と対偶の真偽は一致する。」ということです。

      PQが真の時、逆・裏・対偶逆・裏・対偶も真

      逆・裏・対偶逆・裏・対偶が偽の時、QPも偽になります。

      また、命題の真偽と逆、裏の真偽は必ずしも一致しません。

      例えば、「猫は動物である。」を例にしましょう。

      逆:動物なら猫である。→これは明らかにですね。動物には犬も猿などたくさんいます。

      裏:猫でないなら動物でない。→これもですね。犬も猿も動物です。

      対偶:動物でないならば猫でない→これはです。もちろん、ぬいぐるみとかはありますが笑

       

      2.2 逆・裏・対偶 問題

      ここでは、2題出題します。それぞれの逆・裏・対偶とその真偽を考えてください。

      (1)3の倍数は9の倍数である。

      【解答】

      逆:9の倍数は3の倍数である。 これはですね。

      裏:3の倍数でないならば、9の倍数ではない。 これもです。

      対偶:9の倍数でないならば、3の倍数でない。 これはですね。6、12などがあります。

      (2)XY=6ならば、X=2、Y=3 である。

      【解答】

      逆:X=2、Y=3ならば、XY=6。 これはです。

      裏:XY=6でないならば、X=2、Y=3でない。 これもです。

      対偶:X=2、Y=3でないならば、XY=6でない。 これもです。(X、Y)=(1,6)、(6,1)などがあります。

      逆は裏と対偶の関係になるので、常に真偽は一致します。

       

      命題(逆・裏・対偶・真偽)のまとめ

      いかがでしたか?

      命題に関する用語を忘れるたびに復習しましょう!

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      この記事の執筆者

      ニックネーム:受験のミカタ編集部

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