命題(逆・裏・対偶・真偽)とは何か?わかりやすく図説します!

数学 2015.12.11

「対偶、逆、裏がごっちゃになってしまう!」「命題の真偽が正しく判断出来ない。」

命題の分野では、用語の意味がごっちゃになってしまったり、真偽が正しく判断出来なかったりすることがあると思います。しかし、そんな用語も図式化して頭の中で、整理してしまえばもう間違える事はありません。

今回学習出来る事は以下の通りです。

 

1. 命題の用語まとめ(2分)

命題の用語を簡単に整理しましょう。

 

1-1. 命題とは?

命題は、正しいか正しくないかが数学的に決まる文章や数式の事です。

以下の2つのうちどちらが命題だか分かりますか?

①7はラッキーな数字だ。

②4と2は偶数である。

もちろん②ですね。①は主観的で、論理的に裏付けされたものではありません。②は数学的に正しいので、命題になります。

命題では「P⇒Q」でPを仮定、Qを結論と定義します。

仮定結論

 

 

1-2. 命題の真偽

命題が正しい時を、間違っているときをと言います。

P⇒Qが真の時は、以下が成り立ちます。

真偽

条件Pは条件Qに含まれているということです。

それでは、簡単な実践です。命題の真偽を判断してみてください。
※X、Yは実数とします。

(1)X+Y>0、XY>0ならば、X>0、Y>0になる。

(2)X² =16ならば、X=4になる。

 

【解答】

(1)、XY>0の時は(X>0、Y>0)または(X<0、Y<0)。

だから、X+Y>0が成り立つのは、X>0∩Y>0の時だけです。。

(2)X² =16の時は、X=±4が成り立ちます。

 

1-3. 命題 否定

条件Pに対して、「Pでない」条件は否定と表す。これを条件Pを否定すると言います。この時、以下の関係が成り立ちます。

否定

これは、ドモルガンの法則と同じです。ドモルガンの法則が分からない人は「集合 必ず覚えなくてはならない6つの記号&3つの法則」を参照してください。

 

 

2.逆・裏・対偶はもう迷わない(2分)

逆・裏・対偶は混乱し易いですが、図を頭の中にイメージ出来れば間違える事は減ります。

 

2.1 逆・裏・対偶 図

命題PQに対して
QP
逆・裏・対偶逆・裏・対偶
逆・裏・対偶
逆・裏・対偶対偶と言います。

これを図で表したのが以下になります。

逆・裏・対偶

この時、覚えてほしいのが、「命題の真偽と対偶の真偽は一致する。」ということです。

PQが真の時、逆・裏・対偶逆・裏・対偶も真

逆・裏・対偶逆・裏・対偶が偽の時、QPも偽になります。

また、命題の真偽と逆、裏の真偽は必ずしも一致しません。

例えば、「猫は動物である。」を例にしましょう。

逆:動物なら猫である。→これは明らかにですね。動物には犬も猿などたくさんいます。

裏:猫でないなら動物でない。→これもですね。犬も猿も動物です。

対偶:動物でないならば猫でない→これはです。もちろん、ぬいぐるみとかはありますが笑

 

2.2 逆・裏・対偶 問題

ここでは、2題出題します。それぞれの逆・裏・対偶とその真偽を考えてください。

(1)3の倍数は9の倍数である。

【解答】

逆:9の倍数は3の倍数である。 これはですね。

裏:3の倍数でないならば、9の倍数ではない。 これもです。

対偶:9の倍数でないならば、3の倍数でない。 これはですね。6、12などがあります。

(2)XY=6ならば、X=2、Y=3 である。

【解答】

逆:X=2、Y=3ならば、XY=6。 これはです。

裏:XY=6でないならば、X=2、Y=3でない。 これもです。

対偶:X=2、Y=3でないならば、XY=6でない。 これもです。(X、Y)=(1,6)、(6,1)などがあります。

逆は裏と対偶の関係になるので、常に真偽は一致します。

 

いかがでしたか?

命題に関する用語を忘れるたびに復習しましょう!


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この記事の執筆者

ニックネーム:受験のミカタ編集部

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