中点連結定理を即理解!周囲と差をつける秘訣とは?

数学 2016.8.24
中点連結定理を即理解!周囲と差をつける秘訣とは?

中点連結定理について、現役の早稲田生が、数学が苦手な人でも必ず理解できるように解説しています。

スマホでもPCでも見やすいイラストを使用して解説しているので、非常にわかりやすいです。

この記事を読めば、中点連結定理が理解できること間違いなしです!

また、本記事では、台形における中点連結定理も解説しています。台形における中点連結定理はあまり知られていませんが、入試ではとても重要な内容なので、必ず学習しておきましょう!

台形における中点連結定理を知っているだけで、他の生徒と差をつけることができます!

ぜひ最後まで読んで、中点連結定理をマスターしてください!

 

    1:中点連結定理とは?

    中点連結定理とは、下のイラストのように三角形ABCのAB、ACの中点をそれぞれM、Nとすると、

    MN//BC

    MN = BC / 2

    が成り立つことを言います。

    【中点連結定理】

    中点連結定理解説画像

    中点連結定理は、いたってシンプルですね。では、なぜ中点連結定理は成り立つのでしょうか?

    次の章では、中点連結定理が成り立つ理由(中点連結定理の証明)をしていきます。

     

      2:中点連結定理の証明

      では、中点連結定理の証明をしていきましょう。

      下のイラストのように、MNの延長上に、MN=NDとなる点Dをとります。点Dと点A、点Cを結びます。

      点Mと点Cも結んでおきます。

      中点連結定理の証明解説画像

      四角形AMCDに注目しましょう。

      AN=NCMN=NDより、対角線がそれぞれの中点で交わるので、四角形AMCDは平行四辺形となりますね。

      なので、

      AM=DC

      AM // DC

      となります。

      AM=MBなので、

      MB=DC

      MB // DC

      となり、向かい合う1組の辺が平行かつ等しいので、四角形MBCDも平行四辺形になりますね。

      よって、

      MN // BC

      MN = BC / 2

      になります。中点連結定理の証明は以上になります。

       

      3:台形における中点連結定理

      あまり知られていませんが、中点連結定理は台形においても成り立ちます。

      台形における中点連結定理は、知っておくと入試や定期テストでもかなり有利になります!ぜひ学習しておきましょう!

      台形における中点連結定理とは、下のイラストのように、AD // BCの台形ABCDにおいて、AB、DCの中点をそれぞれM、Nとすると、

      MN // BC

      MN = (AD+BC) / 2

      が成り立つことを言います。

      【台形における中点連結定理】

      台形における中点連結定理解説画像

       

        4:台形における中点連結定理の証明

        台形における中点連結定理の証明もしておきます。下のイラストのように、ANの延長とBCの延長の交点をLとします。

        台形における中点連結定理の証明解説画像

        三角形ANDと三角形LNCに注目します。

        仮定より、ND = NC・・・①

        対頂角は等しいので、

        ∠AND = ∠LNC・・・②

        AD // CLより、錯覚は等しいので、

        ∠NDA = ∠NCL・・・③

        ①〜③より、1辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、

        三角形ANDと三角形LNCは合同になります。

        よって、

        AN = LN

        AD = LC ですね。

        ここで、三角形ABLに注目してみましょう。中点連結定理が使えますね!

        台形における中点連結定理の証明解説画像

        よって、MN // BL

        つまり、MN // BC が証明できました。

        また、

        MN = (BC + LC) / 2 ですね。

        ここで、LC = ADなので、

        MN = (AD + BC) / 2

        が証明できました。台形における中点連結定理の証明は以上になります。

         

          5:中点連結定理の問題

          最後に、中点連結定理の問題を2問解いてみましょう!本記事で、中点連結定理が理解できたかを試すのにピッタリな問題ですので、ぜひチャレンジしてみてください!

          中点連結定理:練習問題その1

          下の図のように、AB=20cm、BC=26cm、CA=18cmの三角形がある。この時、PQ、QR、RPの長さを求めよ。

          中点連結定理の練習問題その1問題画像

          【解答&解説】

          中点連結定理より、PQ = AC / 2 なので、

          PQ = 18 / 2 = 9[cm]・・・(答)

          同様に、中点連結定理より、

          QR = BA / 2 = 10[cm]・・・(答)

          RP = CB / 2 = 13[cm]・・・(答)

           

          中点連結定理:練習問題その2

          下の図のように、AD=6cm、BC=18cmの台形がある。この時、MNの長さを求めよ。

          中点連結定理の練習問題その2問題画像

          【解答&解説】

          台形における中点連結定理を使いましょう。

          台形における中点連結定理より、

          MN

          = (AD + BC) / 2

          = (6 + 18) / 2

          = 12[cm]・・・(答)

          台形における中点連結定理ってとても便利ですね。。繰り返しになりますが、台形における中点連結定理を知っているか知らないかは大きな違いです。

          台形における中点連結定理は必ず覚えておいてください!

           

          いかがでしたか?中点連結定理の解説は以上になります。中点連結定理を忘れてしまった時は、ぜひ本記事を読み返して復習してください。

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          この記事の執筆者

          ニックネーム:やっすん

          早稲田大学商学部4年
          得意科目:数学


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