確率漸化式を徹底攻略！漸化式の基礎から解説します

1.確率漸化式を解く前に！漸化式の基礎をおさらいしよう

確率漸化式を解く前に漸化式の基礎をおさらいしましょう。

漸化式とは前の項と次の項の関係を表した式です。
基本的な漸化式として挙げられるのは、

                等差数列：a_n+1 = a_n + d

                等比数列：a_n+1 =  ra_n

                階差数列：a_n+1 = a_n + f(n)

の3つです。
漸化式を解くときに意識するのはこの3つの形です。

問題としてはさまざまな形の漸化式が表れますが、どれもこのどれかの形に変形して、解くことになります。
等差数列であれば、等差数列の一般項の公式がありますし、等比数列も等比数列の一般項の公式があります。
それぞれ、

                等差数列：a_n = a₁ + d(n – 1)

                等比数列：a_n = a₁r^n-1

です。これは必ず覚えておきましょう。

前の項と次の項の差をとった数列を階差数列といいます。
例えば、

     a_n = 1,2,4,7,11,16,22,29,37,46,56……

という数列 であれば、次の項との差を順番にとってゆくと

      b_n = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10……

という数列 を定義することができます。
この数列 を数列 の階差数列といいます。
さきの

                階差数列：a_n+1 = a_n + f(n)

であれば、f(n)の部分が階差数列にあたります。
階差数列 を持つような数列 の一般項は、n ≧ 2 のとき

で表されます。

漸化式の問題では、最終的にはこの等差数列、等比数列、階差数列の形に変形して、一般項の公式をつかって、もとの数列の一般項を求めることになります。
次に説明する確率漸化式の問題でも、自分で漸化式をたてる必要があるだけで、漸化式を解く作業は同じです。そのため、まず漸化式のパターン問題を解けるようになっておきましょう。

2.確率漸化式の問題を解いてみよう

ここから、「1回目が3の倍数でないときには、1, 4, 7であれば2, 5, 8のように、それぞれに対応する3数を引けばよい」ということがわかります。
「1回目が3の倍数でないとき」というのは、 1 – p₁で表されますから、それにたいして 3/8 をかければよいことになります。
つまり

です。
2回目で合計が3の倍数になる確率p₂ は、「1回目で3の倍数を引き、2回目でも3の倍数を引く確率」＋「1回目で3の倍数でない数を引き、2回目でそれに対応する数を引いて3の倍数になる確率」と考えられます。
ですから

が求める確率になります。

(2)

(1)と同様に考えます。
 p_nは「n回目までの数字の合計が3の倍数である確率」であり、 p_n+1は「n + 1 回目までの数字の合計が3の倍数である確率」です。
この問題設定をしっかり押さえておきましょう。

つまりn回目で3の倍数だったら、n + 1回目で3の倍数になるためには、3か6を引く必要があります。
そして、n回目で3の倍数でなかったら、n + 1 回目では、それに対応する3枚（合計が3m+1（mは整数）で表されるすうなら2, 5, 8のような）を引く必要があります。
ですから、(1)の

と同様に考えれば、

が(2)で求める式です。

以下のようにまとめてもよいでしょう。

(3)

(2)までできれば、あとは漸化式を解くだけです。
(2)で求めた、

を解きます。
これは、特性方程式を使って等比数列の形に変形して解くタイプの式です。
ただし、特性方程式という単語は高校の範囲ではないので、記述問題では回答に書かない方が無難です。

特性方程式についての記事はこちら

の特性方程式はより

と変形できます。

 ※漸化式の計算になれている方

は初項が

であり、公比がの等比数列なので、

となります。

※漸化式の計算になれていない方

とおくと、

となるので、 q_nは公比が – 1/8 の等比数列です。

等比数列とは、前の項にある定数rをかけると次の項になるような数列でした。
その一般項は

                a_n = a₁r^n-1
で表されます。
必要なのは初項a₁と公比rの情報ですので、あとは初項を求めれば、一般項がわかることになります。
p₁は(1)で求めましたので

となります。ですので、q_n の一般項は

となります。つまり

が求まります。

 3.確率漸化式のまとめ