~漸化式発展型~少し工夫しないと解けない漸化式を紹介します!

数学 2017.10.19

漸化式にはさまざまな解き方が存在します。

今回はそんな発展した漸化式を現役慶應生が紹介していきたいと思います!

まだ基本がわからないという方は漸化式とは?解き方は?数学苦手でも必ずできるように慶應生がレクチャーを先にご覧下さい。

この記事を読めば、漸化式の理解度がぐんっ!!と上がりますよ。

 

 

 

Step.1 まずは漸化式の基本となる特性方程式から解説!

まず、漸化式の基本となる特性方程式について学びたいと思います。

特性方程式は漸化式を解く上で非常に大切になってくる公式です。

なぜなら、これから出てくる複雑な漸化式を攻略するためには、この特性方程式をガンガン使って漸化式を解くことになるからです。

なので、これを機にしっかりと覚えてこれから解く漸化式に活用していきましょう。

 

では、まずは公式からみていきます。

 

an+1=pan+q,p≠1,q≠0で表される時、an+1,anの代わりにαとおいた方程式α=pα+qと表すことができる。
ノットイコールなどや、an+1などやや難解に見えますが、とても大事な公式なのでしっかりと覚えるようにしましょう!

漸化式のイメージ

それではさっそく例題を解いていきましょう!

 

例題

a1=4,an+1=3an-6 このとき数列{an}の一般項を求めよ。

 

解答&解説

特性方程式を使って、(特性方程式を書く過程は解答に書かなくてよい)

α=3αー6

-2α=-6

α=3

(以下解答に書く部分)

an+1=3an-6を変形して、

an+1-3=3(an-3)

{an-3}は初項1公比3の等比数列である。

よって、an-3=1・3n-1

an=3n-1+3・・・(答え)

 

特性方程式について理解できましたか?

特性方程式は漸化式を適切に変形する助けとなるものです!

特性方程式が理解できれば今後の漸化式も解けるはずです!

では、特性方程式を利用した、さらにレベルアップした漸化式を見ていきましょう。

 

Step.2 少し複雑な累乗の形の漸化式を解説!

続いて少し複雑な累乗の形の漸化式を紹介していきます。

累乗の形の漸化式は一見ややこしいように思えますが、累乗の部分がnでもn+1になっても基本的な考え方は変わらないので、1回コツをつかんでしまえば簡単にできますよ。

まずは公式を見てみます。

 

漸化式an+1=pan+qで表される時、両辺をqn+1で割る。

 

この公式を見て、「文字ばかりでまったく何を言ってるのかわからない~」となってしまう方は多いと思います!

筆者も最初に見たときはそうでした、、。

そんなときは、例題を解説を見ながらでもいいから解いてみるのをおすすめします!!

実際に手を動かして、紙などに漸化式を書いて解きながら読むと理解しやすいですよ!

 

では例題を解いていきたいと思います。

 

例題

a1=4,an+1=3an+4n+1

によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。

 

解答&解説

an+1=3an+4n+1の両辺を4n+1で割ると

 

 

いかがですか?

両辺を4n+1で割ることでStep.1と同じ形に帰着できました!

Step.1に比べてだいぶレベルは上がりましたよね?

難しい内容ですが、累乗の形の漸化式を理解できれば漸化式攻略は目の前です!

漸化式は難しいですが、次のStep.3を理解して、着実に力をつけましょう!!

 

Step.3 覚えれば解ける漸化式!隣接3項間を解説!

最後は一見すごく難関に見える隣接3項間の公式について説明したいと思います。

この公式は忘れてしまったら先に進めないので絶対に覚えてくださいね!

逆に言えば、隣接3項間の漸化式は覚えてしまえば、簡単にできる漸化式です。

だから、頑張って覚えてしまいましょう。

今回は公式を含め、方針をまとめていきます。

 

①an+2をx2,an+1をx,anを1とおいたxの2次方程式を解く。(特性方程式)
②①で出た解をそれぞれα、βと置き、α≠βの時、  α=βの時
an+2-αan+1=β(an+1-αan)・・・(ⅰ)     an+2-αan+1=α(an+1-αan
an+2-βan+1=α(an+1-βan)・・・(ⅱ)
③それぞれを一般項の形で表す。(等比数列)     an+1=pan+qn型の漸化式になる。
④(ⅱ)ー(ⅰ)をしてanの一般項で表す。     両辺をαn+1で割り(等差数列)anの一般項を出す。

 

なんとなく方針は理解できましたか?

今回はα≠βの場合の漸化式の例題を紹介します。

この漸化式が解けたら、色々な問題集でα≠βの問題を解いてみると、さらに漸化式を解く力が身に付きますよ!

 

では例題にいきます。

 

例題

a1=0,a2=3,an+2=an+1+2anによって定められる数列{an}の一般項を求めよ。

 

解答&解説

まず、特性方程式より、an+2=x2,an+1=x,an=1とおいてx2-x-2=0
(x+1)(x-2)=0
x=-1,2

特性方程式より、
an+2+an+1=2(an+1+an)・・・①
an+2-2an+1=-1(an+1-2an)・・・②

①より数列{an+1+an}は初項3公比2より、
{an+1+an}=3・2n-1・・・③
②より数列{an+1-2an}は初項3公比ー1より、
an-1+2an=3(-1)n-1・・・④

④-③より
-3an=3(-1)n-1-3・2n-1
an=-(-1)n-1+2n-1
an=(-1)n+2n-1・・・(答え)


いかがでしたか?

今回の漸化式の公式を覚えて使いこなせれば、きっと漸化式が得意になるはずですよ!

このほかにも、ぜひ色々な漸化式の問題にチャレンジしてみてください!

 

この記事の執筆者

ニックネーム:すずきんぐ

慶應義塾大学商学部1年
岐阜出身
好きなこと:ランニング、スウィーツめぐり
得意科目:数学
ハマっていること:ゴルフを始めました

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