扇形の面積公式が一目でわかる！丁寧な証明付き

今回は扇形の面積公式と証明を丁寧に解説していきます。

扇形の面積公式に関しては、小学生で習った円の面積の求め方が分かっていれば、簡単に導くことができます。

また、扇形の面積公式は２つあるということも今言っておくので、ぜひ２つとも覚えましょう。

しかし、扇形の学習に関しては、面積公式だけでなく、扇形の弧の長さも公式として学習しておくと、すごく便利です。

なので、今回は扇形の面積公式だけでなく、弧の長さ公式も特別に紹介します！（面積公式だけでいいという人は、弧の長さ公式の前まで読んで頂ければ大丈夫です！）

また、最後には、今回学習した内容を実践でも使えるよう、最適な練習問題も用意しました。

この記事だけで扇形に関する重要事項はすべてマスターしているので、ぜひ最後までお読みください！

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１．扇形の面積公式

扇形の面積の公式は２パターンあります。どちらも覚えるべき事柄なので、両方覚えましょう！

・半径r , 中心角θ（単位はラジアン）, 弧の長さLの扇形の面積Sは

S =r²θ =rL

次の項目で証明していきます。

 

２．扇形の面積公式の証明

例えば、上図のように中心角が30°、半径が6の円の面積を求めるとき、小学生的解き方なら、

(面積)=6・6・π・(30°/360°)=3π ←(答)

となりますね。証明の流れはこんな感じです。

高校数学では、下図のように中心角がラジアン（3πやπ/6など）で表現されるのが特徴です。

なので、θを°（度）に変換できれば証明できそうです。

2π[ラジアン]＝360°でした。

したがって、

θ[ラジアン]＝（180θ/π）°

となります。（下図参照）

よって、扇形の面積は、

r・r・π・{(180θ/π)° / 360°}

= r²π・θ/2π

=r²θ

これで証明できました！

θ[ラジアン]を°（度）に変換する点をしっかり理解しておきましょう！

２つ目の面積公式の

rLについては以下２つの項目で証明していきます。

 

３．【補足】扇形の弧の長さ公式

扇形の面積公式を覚えたら、ついでに弧の長さ公式も一緒に覚えてしまいましょう。覚えておくと大変便利です！

・半径r , 中心角θ（単位はラジアン）の扇形の弧の長さLは

L = rθ

 

４．【補足】扇形の弧の長さ公式の証明

証明方法は上記の、「扇形の面積公式」と同じです。

再びθ[ラジアン]を°（度）に変換して考えます。

円周は直径×πで求まることにも注意しましょう！

L

= 2r・π・{(180θ/π)° / 360°}

※「２．扇形の面積公式の証明」参照

= 2rπ・θ/2π

=rθ

ですね。何度も言いますが、θ[ラジアン]を°（度）に変換できるようにしましょう！

※L=rθより、θ=L/rです。

これを扇形の面積公式

r²θに代入すると、

rLとなります。これで扇形の面積公式の２つ目も証明ができました。

 

５．扇形の面積公式を使った練習問題

最後に、扇形の面積公式を使った練習問題を解いてみましょう。

これが解ければもう扇形の面積公式は完璧です。ぜひチャレンジしてみてください！

 

【問題】

半径6, 中心角2/3πの扇形の弧の長さと面積を求めよ。

 

【解答＆解説】

今回学習した公式を使っていきましょう。

・扇形の弧の長さ(Lとする)

L=rθより、

L

=6・2/3π

=4π・・・（答）

・扇形の面積(Sとする)

S=1/2・r²θより、

Ｓ

=1/2・6²・2/3π

=12π・・・（答）

今回の場合は弧の長さ4πを求めていたので、

S=1/2・rLを使って、

S

=1/2・6・4π

=12πとしても良いですね。

 

まとめ

扇形の面積公式や弧の長さ公式の証明では、ラジアンを°（度）に変換して証明しました。

この流れを忘れないようにしましょう！

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この記事の執筆者

ニックネーム：やっすん

早稲田大学商学部4年
得意科目：数学