扇形の面積公式が一目でわかる!丁寧な証明付き

数学 2016.4.22

今回は扇形の面積公式と証明を丁寧に解説していきます。

扇形の面積公式に関しては、小学生で習った円の面積の求め方が分かっていれば、簡単に導くことができます。

また、扇形の面積公式は2つあるということも今言っておくので、ぜひ2つとも覚えましょう。

しかし、扇形の学習に関しては、面積公式だけでなく、扇形の弧の長さも公式として学習しておくと、すごく便利です。

なので、今回は扇形の面積公式だけでなく、弧の長さ公式も特別に紹介します!(面積公式だけでいいという人は、弧の長さ公式の前まで読んで頂ければ大丈夫です!)

また、最後には、今回学習した内容を実践でも使えるよう、最適な練習問題も用意しました。

この記事だけで扇形に関する重要事項はすべてマスターしているので、ぜひ最後までお読みください!

【 目次 】

1.扇形の面積公式

2.扇形の面積公式の証明

3.【補足】扇形の弧の長さ公式

4.【補足】扇形の弧の長さ公式の証明

5.扇形の面積公式を使った練習問題

 

1.扇形の面積公式

扇形の面積の公式は2パターンあります。どちらも覚えるべき事柄なので、両方覚えましょう!

扇形面積公式

・半径r , 中心角θ(単位はラジアン), 弧の長さLの扇形の面積Sは

S =数字r2θ =数字rL

次の項目で証明していきます。

 

2.扇形の面積公式の証明

扇形面積公式証明

例えば、上図のように中心角が30°、半径が6の円の面積を求めるとき、小学生的解き方なら、

(面積)=6・6・π・(30°/360°)=3π ←(答)

となりますね。証明の流れはこんな感じです。

高校数学では、下図のように中心角がラジアン(3πやπ/6など)で表現されるのが特徴です。

扇形面積公式の図

なので、θを°(度)に変換できれば証明できそうです。

2π[ラジアン]=360°でした。

したがって、

θ[ラジアン]=(180θ/π)°

となります。(下図参照)

扇形面積公式証明2

よって、扇形の面積は、

r・r・π・{(180θ/π)° / 360°}

= r2π・θ/2π

=分数r2θ

これで証明できました!

θ[ラジアン]を°(度)に変換する点をしっかり理解しておきましょう!

2つ目の面積公式の

分数rLについては以下2つの項目で証明していきます。

 

3.【補足】扇形の弧の長さ公式

扇形の面積公式を覚えたら、ついでに弧の長さ公式も一緒に覚えてしまいましょう。覚えておくと大変便利です!

扇形面積公式の図

・半径r , 中心角θ(単位はラジアン)の扇形の弧の長さLは

L = rθ

 

4.【補足】扇形の弧の長さ公式の証明

証明方法は上記の、「扇形の面積公式」と同じです。

再びθ[ラジアン]を°(度)に変換して考えます

円周は直径×πで求まることにも注意しましょう!

扇形面積公式の図

L

= 2r・π・{(180θ/π)° / 360°}

「2.扇形の面積公式の証明」参照

= 2rπ・θ/2π

=

ですね。何度も言いますが、θ[ラジアン]を°(度)に変換できるようにしましょう!

※L=rθより、θ=L/rです。

これを扇形の面積公式

分数r2θに代入すると、

分数rLとなります。これで扇形の面積公式の2つ目も証明ができました。

 

5.扇形の面積公式を使った練習問題

最後に、扇形の面積公式を使った練習問題を解いてみましょう。

これが解ければもう扇形の面積公式は完璧です。ぜひチャレンジしてみてください!

半径6, 中心角中心角の扇形の弧の長さと面積を求めよ。

【解答&解説】

今回学習した公式を使っていきましょう。

・扇形の弧の長さ(Lとする)

L=rθより、

L

=6・2/3π

=4π・・・(答)

・扇形の面積(Sとする)

S=1/2・r2θより、

=1/2・62・2/3π

=12π・・・(答)

今回の場合は弧の長さ4πを求めていたので、

S=1/2・rLを使って、

S

=1/2・6・4π

=12πとしても良いですね。

いかがでしたか?扇形の面積公式や弧の長さ公式の証明では、ラジアンを°(度)に変換して証明しました。

この流れを忘れないようにしましょう!


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