扇形の面積公式が一目でわかる!丁寧な証明付き

数学 2016.4.22
扇形の面積公式が一目でわかる!丁寧な証明付き

今回は扇形の面積公式と証明を丁寧に解説していきます。

扇形の面積公式に関しては、小学生で習った円の面積の求め方が分かっていれば、簡単に導くことができます。

また、扇形の面積公式は2つあるということも今言っておくので、ぜひ2つとも覚えましょう。

しかし、扇形の学習に関しては、面積公式だけでなく、扇形の弧の長さも公式として学習しておくと、すごく便利です。

なので、今回は扇形の面積公式だけでなく、弧の長さ公式も特別に紹介します!(面積公式だけでいいという人は、弧の長さ公式の前まで読んで頂ければ大丈夫です!)

また、最後には、今回学習した内容を実践でも使えるよう、最適な練習問題も用意しました。

この記事だけで扇形に関する重要事項はすべてマスターしているので、ぜひ最後までお読みください!

 

    1.扇形の面積公式

    扇形の面積の公式は2パターンあります。どちらも覚えるべき事柄なので、両方覚えましょう!

    扇形面積公式

    ・半径r , 中心角θ(単位はラジアン), 弧の長さLの扇形の面積Sは

    S =数字r2θ =数字rL

    次の項目で証明していきます。

     

      2.扇形の面積公式の証明

      扇形面積公式証明

      例えば、上図のように中心角が30°、半径が6の円の面積を求めるとき、小学生的解き方なら、

      (面積)=6・6・π・(30°/360°)=3π ←(答)

      となりますね。証明の流れはこんな感じです。

      高校数学では、下図のように中心角がラジアン(3πやπ/6など)で表現されるのが特徴です。

      扇形面積公式の図

      なので、θを°(度)に変換できれば証明できそうです。

      2π[ラジアン]=360°でした。

      したがって、

      θ[ラジアン]=(180θ/π)°

      となります。(下図参照)

      扇形面積公式証明2

      よって、扇形の面積は、

      r・r・π・{(180θ/π)° / 360°}

      = r2π・θ/2π

      =分数r2θ

      これで証明できました!

      θ[ラジアン]を°(度)に変換する点をしっかり理解しておきましょう!

      2つ目の面積公式の

      分数rLについては以下2つの項目で証明していきます。

       

      3.【補足】扇形の弧の長さ公式

      扇形の面積公式を覚えたら、ついでに弧の長さ公式も一緒に覚えてしまいましょう。覚えておくと大変便利です!

      扇形面積公式の図

      ・半径r , 中心角θ(単位はラジアン)の扇形の弧の長さLは

      L = rθ

       

        4.【補足】扇形の弧の長さ公式の証明

        証明方法は上記の、「扇形の面積公式」と同じです。

        再びθ[ラジアン]を°(度)に変換して考えます

        円周は直径×πで求まることにも注意しましょう!

        扇形面積公式の図

        L

        = 2r・π・{(180θ/π)° / 360°}

        「2.扇形の面積公式の証明」参照

        = 2rπ・θ/2π

        =

        ですね。何度も言いますが、θ[ラジアン]を°(度)に変換できるようにしましょう!

        ※L=rθより、θ=L/rです。

        これを扇形の面積公式

        分数r2θに代入すると、

        分数rLとなります。これで扇形の面積公式の2つ目も証明ができました。

         

          5.扇形の面積公式を使った練習問題

          最後に、扇形の面積公式を使った練習問題を解いてみましょう。

          これが解ければもう扇形の面積公式は完璧です。ぜひチャレンジしてみてください!

           

          【問題】

          半径6, 中心角2/3πの扇形の弧の長さと面積を求めよ。

           

          【解答&解説】

          今回学習した公式を使っていきましょう。

          ・扇形の弧の長さ(Lとする)

          L=rθより、

          L

          =6・2/3π

          =4π・・・(答)

          ・扇形の面積(Sとする)

          S=1/2・r2θより、

          =1/2・62・2/3π

          =12π・・・(答)

          今回の場合は弧の長さ4πを求めていたので、

          S=1/2・rLを使って、

          S

          =1/2・6・4π

          =12πとしても良いですね。

           

            まとめ

            扇形の面積公式や弧の長さ公式の証明では、ラジアンを°(度)に変換して証明しました。

            この流れを忘れないようにしましょう!

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            この記事の執筆者

            ニックネーム:やっすん

            早稲田大学商学部4年
            得意科目:数学