等差数列とは?一般項の求め方や和の公式を練習問題と解説でマスターしよう!

数学 2015.12.9
等差数列とは?一般項の求め方や和の公式を練習問題と解説でマスターしよう!

今回は高校数学における等差数列の公式を扱います。

等差数列では、必ず覚えておくべき公式が3つあります!以下がその3つの公式です。

①:一般項

初項をa , 公差をdとする。すると、n番目の項 aは、

an = a + (n-1) d

練習問題を使っての詳しい解説はこちら

 

②:等差中項

数列a , b , c が等差数列 ⇔

2b = a + c

練習問題を使っての詳しい解説はこちら

 

③:等差数列の和

初項a , 末項b , 項数n  とすると、初項から末項までの和Sn は、

Sn = \frac{1}{2} n (a + b)

練習問題を使っての詳しい解説はこちら

 

 

    ①等差数列:一般項

    [練習問題]
    等差数列120 , 117 , 114… の一般項anを求めよ。また、第30項を求めよ。

     

    [解答&解説]

    まず、一般項は上記の公式より
    an = 120 + (n – 1) ・(-3) = 123 – 3n
    (120が初項で、-3が公差である。)

    また、第30項は求めた式にn=30を代入して、
    a30 = 123 – 3・30 = 33

     

      ②等差数列:等差中項

      [練習問題]
      等差数列をなす3数がある。その和は15で、積は80である。この3数を求めよ。

       

      [解答&解説]

      求める3数をa , b , cとおく。
      すると、上記の公式より
      2b = a + c …①
      問題文の条件より、
      a + b + c = 15 …②
      abc = 80 …③
      以上より、①~③の連立方程式ができた。
      ①を②に代入して、3b = 15 ∴ b = 5
      これを①、②に代入して
      a + c = 10
      ac = 16  ∴ a = 2 , c = 8
      したがって、求める3数は2 , 5 , 8

      ③等差数列:和の公式

      [練習問題Ⅰ]
      等差数列1 , 6 , 11 … 496の和Sを求めよ。

       

      [解答&解説Ⅰ]

      初項が1 , 公差が5 , 末項が496が第n項だとすると、
      496 = 1 + (n – 1) ・5 ∴ n=100(①:一般項を参照)
      よって、496は第100項だとわかる。よって、上記の公式を用いて、
      S = \frac{1}{2} ・100 ・(1+496) = 24850
      [練習問題Ⅱ]
      初項300 , 公差-5の等差数列の初項から第100項までの和Sを求めよ。

       

      [解答&解説Ⅱ]

      第100項の数字は
      300 +  (100-1)・(-5) = -195 (①:一般項を参照)
      ここで、上記の公式を用いて、
      S = \frac{1}{2} ・ 100 ・{300+(-195)} = 5250

       

        等差数列のまとめ

        いかがでしたか?覚えるべき公式はたったの3つでした。類似問題を多く解いていくうちに自然と覚えられるので、まだ覚えていない人は簡単な類似問題をたくさん解いていきましょう♪
        また、等差数列と関連したものとして、等比数列があります。今回の学習を機にぜひ等比数列も確認してみてください
        「等比数列の和と公式(問題と丁寧な解説付き)」

         

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        この記事の執筆者

        ニックネーム:やっすん

        早稲田大学商学部4年
        得意科目:数学