等比数列の和と公式が一目でわかる記事

数学 2015.12.10

 

今回は等比数列の公式を扱います。

等比数列では、必ず覚えておくべき公式が3つあります!以下がその3つの公式です。

 

①:一般項
初項をa , 公比をrとする。すると、n番目の項 aは、

an = arn-1

練習問題を使っての詳しい解説はこちら

 

②:等比中項
数列a , b , c が等差数列 ⇔

b2 = ac

練習問題を使っての詳しい解説はこちら

 

③:等比数列の和
初項をa , 公比をr  とすると、初項から第n項までの和Sn は、

等比公式修正版

練習問題を使っての詳しい解説はこちら

 

 

①等比数列:一般項

[練習問題]
等比数列4 , -8 , 16… の一般項anを求めよ。また、第11項を求めよ。

 

[解答&解説]

まず、一般項は上記の公式より
an = 4・(-2)n-1
(4が初項で、-2が公比である。)

また、第11項は求めた式にn=11を代入して、
a11 = 4・(-2)10 = 4・1024 = 4096

※210 = 1024は頻出なので暗記しましょう!

 

②等比数列:等比中項

[練習問題]
3つの整数a , b , cはこの順で等比数列になり、c , a , bの順で等差数列になる。abc=125となるときa , b , cを求めよ。

 

[解答&解説]

上記の公式より、
b= ac …①
また、数列c , a , bが等差数列をなすから
2a = c + b …②等差数列の和と公式(問題と丁寧な解説付き)  の等差中項を参照】
問題文より
abc = 125…③
これで①~③の連立方程式ができた。①を③に代入して
b3 = 125 ∴ b = 5
これを①と②に代入して、
ac = 25 , c = 2a – 5 より
a(2a – 5)- 25 = 0 これを解いて
a = 5 , -5/2
しかし、問題文よりaは整数なのでa = 5
ac = 25 より、c= 5

 

③等比数列:和の公式

[練習問題]
等比数列a , 2a2 , 4a3 … の初項から第n項までの和Snを求めよ。

 

[解答&解説]

解答

 

 

いかがでしたか?覚えるべき公式はたったの3つでした。特に等比数列の和については、公比が1かどうかで場合分けする必要があるので、そこには注意してくださいネ♪
また、等比数列と関連たものとしては等差数列もあります。ぜひ、等差数列の内容もこれを機に確認しておいてください♪
『等差数列の和と公式(問題と丁寧な解説付き)』

 

 


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この記事の執筆者

ニックネーム:やっすん

早稲田大学商学部4年
大阪府出身
好きなこと:カラオケ、テニス
得意科目:数学
最近ハマっていること:炎天下のランニング

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