等比数列とは？一般項の求め方や和の公式を練習問題と解説でマスターしよう！

今回は高校数学における等比数列の公式を扱います。

等比数列では、必ず覚えておくべき公式が３つあります！以下がその３つの公式です。

①：一般項
初項をa , 公比をrとする。すると、n番目の項 a_n は、

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②：等比中項
数列a , b , c が等差数列　⇔

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③：等比数列の和
初項をa , 公比をr  とすると、初項から第n項までの和S_n は、

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①等比数列：一般項

 

まず、一般項は上記の公式より
a_n = 4・（-2）^n-1
(4が初項で、-2が公比である。)

また、第11項は求めた式にn=11を代入して、
a₁₁ = 4・（-2）¹⁰ = 4・1024 = 4096
※2¹⁰ = 1024は頻出なので暗記しましょう！

 

②等比数列：等比中項

 

上記の公式より、
b² = ac …①
また、数列c , a , bが等差数列をなすから
2a = c + b …②【等差数列の和と公式(問題と丁寧な解説付き)  の等差中項を参照】
問題文より
abc = 125…③
これで①～③の連立方程式ができた。①を③に代入して
b³ = 125 ∴ b = 5
これを①と②に代入して、
ac = 25 , c = 2a – 5 より
a（2a – 5）- 25 = 0　これを解いて
a = 5 , -5/2
しかし、問題文よりaは整数なのでa = 5
ac = 25 より、c= 5

 

③等比数列：和の公式

 

 

 

いかがでしたか？覚えるべき公式はたったの３つでした。特に等比数列の和については、公比が１かどうかで場合分けする必要があるので、そこには注意してくださいネ♪
また、等比数列と関連たものとしては等差数列もあります。ぜひ、等差数列の内容もこれを機に確認しておいてください。
⇒『等差数列の和と公式(問題と丁寧な解説付き)』

 

 

この記事の執筆者

ニックネーム：やっすん

早稲田大学商学部4年
得意科目：数学