角の二等分線が図で誰でも一発でわかる!練習問題付き

数学 2017.7.31

数学における角の二等分線の定理について、スマホでも見やすいイラストで解説します。

早稲田大学に通う筆者が、角の二等分線の定理とは何か、証明について数学が苦手な人でも理解できるように丁寧に解説します。

最後には、角の二等分線の定理に関する練習問題も用意した充実の内容です。

ぜひ最後まで読んで、角の二等分線の定理をマスターしてください!

【 目次 】

1:角の二等分線の定理とは?イラストでよくわかる!

2:角の二等分線の定理の証明

3:角の二等分線の定理に関する練習問題

 

1:角の二等分線の定理とは?イラストでよくわかる!

まずは角の二等分線の定理とは何かを見ていきましょう。

角の二等分線の定理とは、以下の図のように△ABCがある時、∠Aの二等分線とBCとの交点を点Dとすると、

AB:AC = BD:DC

になることです。

角の二等分線の定理

とてもシンプルな定理ですね。では、なぜ角の二等分線の定理は成り立つのでしょうか?

次の章では、角の二等分線の定理の証明を行います。

 

2:角の二等分線の定理の証明

では早速、証明を行います!

まず、ADの延長線とABと平行かつ点Cを通る直線との交点を点Eとします。

点E

ここで、△ABDと△ECDに注目します。

AB//CEより、平行線の錯覚は等しいので、

∠ABD=∠ECD・・・①

∠BAD=∠CED・・・②

①と②より、2つの角が等しいので、

△ABD∽△ECDとなります。

※2つの三角形が相似になるための3つの条件を忘れてしまった人は、相似条件について解説した記事をご覧ください。

△ABD∽△ECD

すると、

AB:CE=BD:CD・・・③

となりますね。

ここで、∠BAD=∠DACですね。(∠Aの二等分線より)

これと②より、

∠CED=∠DACとなるので、△ACEは二等辺三角形となります。

よって、CE=CAです。すると、③は

AB:AC=BD:DC

と書き換えられるので、角の二等分線の定理の証明ができました!

 

3:角の二等分線の定理に関する練習問題

では最後に、角の二等分線の定理に関する練習問題を解いてみましょう!

もちろん丁寧な解答&解説付きです。

問題

以下の図のような△ABCがある時、BDの長さを求めよ。

△ABC

解答&解説

早速、角の二等分線の定理を使いましょう。

角の二等分線の定理より、

AB:AC=BD:DC

なので、

BD:DC

=16:10

=8:5

よって、

BD

=26 × 8/13

=16・・・(答)

となります。

 

いかがでしたか?

角の二等分線の定理は頻繁に使うので、必ず覚えておきましょう!

忘れた時はまた本記事で復習してください!


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