中心角の求め方が即わかる&合わせて知りたい知識とは?

数学 2017.2.27
中心角の求め方が即わかる&合わせて知りたい知識とは?

数学における中心角の求め方について、早稲田大学に通う筆者が丁寧に解説します。

数学が苦手な人でも中心角の求め方が理解できるように、スマホでも見やすいイラストでわかりやすく解説します。

中心角の求め方の公式を使う例題も用意しています。

本記事では、扇形の中心角の求め方だけではなく、円錐の中心角の求め方についても解説している充実の内容です。

ぜひ最後まで読んで、中心角の求め方をマスターしてください!

 

    1:扇形の中心角の求め方(公式)

    まずは扇形の中心角の求め方(公式)から解説していきます。

    下の図のように、中心角の大きさをx°、弧の長さをL、半径をRの扇形を考えます。

    扇形の例

    すると、

    x = 180L / πR

    という公式が成り立ちます。

    中心角の求め方の公式

    では、以上の中心角の求め方の公式を使って例題を1つ解いてみましょう。

     

      2:扇形の中心角の求め方(例題)

      では、扇形の中心角を求める例題を解いてみましょう。

      例題

      下の図の扇形において、xの値を求めよ。

      扇形

      解答&解説

      では、扇形の中心角の公式を使ってみましょう。

      x = 180L / πR

      (Lは弧の長さ、Rは半径)

      より、

      x

      = 180・π / π・10

      = 18・・・(答)

      となります。

      簡単ですよね?

      扇形の中心角の公式はとても便利なのでぜひ覚えておきましょう!

       

      3:扇形の中心角の求め方(証明)

      では、なぜ以上のような扇形の中心角の公式が成り立つのでしょうか?

      本章では、扇形の中心角の公式の証明を行っておきます。

      証明

      半径が同じならば、扇形の弧の長さと中心角の大きさの比は常に一定になります。

      ここで、先ほどと同じように、中心角の大きさをx°、弧の長さをL、半径がRの扇形を考えます。

      また、半径がRで同じの円も考えます。

      扇形の中心角の求め方(証明)

      すると、半径がRで同じならば、孤の長さと中心角の大きさの比は常に一定なので、

      L:x = 2πR:360

      が成り立ちます。内項の積=外項の積より、

      x・2πR = L・360

      なので、

      x = 180L / πR

      となり、証明ができました。

      中心角の求め方は「孤の長さ:中心角」から導き出されているのでした。

       

        4:円錐の中心角の求め方(公式)

        扇形の中心角の求め方と一緒に、円錐の中心角の求め方も知っておくと便利です。

        下の図のように、母線がL、半径がRの円錐の中心角x°は、

        x = 360 × R/L

        で求めることができます。

        円錐の中心角の求め方(公式)

        次の章では、以上の円錐の中心角の公式を使って例題を一つ解いてみます。

         

          5:円錐の中心角の求め方(例題)

          では、例題を1つ解いてみましょう!

          例題

          下の図のような円錐の展開図がある時、この円錐の中心角の大きさxを求めよ。

          円錐の展開図

          解答&解説

          図より、この円錐の母線は10、半径は2なので、円錐の中心角の公式より、

          x

          = 360・2/10

          = 72°・・・(答)

          となります。

          簡単ですよね?円錐の中心角は、母線と半径が分かれば求められるということを覚えておきましょう!

           

            6:円錐の中心角の求め方(証明)

            では、円錐の中心角の公式の証明を行っていきます。

            証明

            まず、下の図より、円錐の展開図の扇形の弧の長さは底面の円周(2πR)に等しいですね。

            円錐の中心角の求め方(証明)

            つまり、上記の扇形の弧の長さは2πRになりますね。

            すると、ここからは扇形の中心角の求め方の証明(3章)とおなし手順になります。

            半径が同じならば、扇形の弧の長さと中心角の大きさの比は常に一定になるので、

            2πR:x = 2πL:360

            が成り立ちます。内項の積=外項の積より、

            x・2πL = 2πR・360

            なので、整理して

            x = 360 × R/L

            が証明できました。

             

            いかがでしたか?

            扇形の中心角の求め方と円錐の中心角の求め方について解説しました。

            中心角を求める過程は数学の問題では頻出です。

            ぜひ中心角の求め方(公式)は覚えておきましょう!

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            この記事の執筆者

            ニックネーム:やっすん

            早稲田大学商学部4年
            得意科目:数学