チェバの定理の証明・覚え方を早稲田生が紹介!問題付き!

数学 2016.9.5
チェバの定理の証明・覚え方を早稲田生が紹介!問題付き!

チェバの定理について、早稲田大学に通う大学生が、数学が苦手な人でもチェバの定理を理解できるように解説します。

スマホでも見やすいイラストを使ってチェバの定理を解説しているので、とてもわかりやすい解説です。

本記事では、チェバの定理の基本に加えて、チェバの定理の証明・チェバの定理の覚え方も紹介しています。

また、最後には、本記事でチェバの定理が理解できたかを試すのに最適な練習問題も用意しました!

本記事を読み終える頃には、チェバの定理が理解できているでしょう。

チェバの定理と一緒に、メネラウスの定理についても学習すると非常に効果的です。

ぜひメネラウスの定理について解説した記事もご覧ください。

 

    ①チェバの定理とは?

    まずは、チェバの定理とは何かについて解説します。

    チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、三角形の内部に任意の点Oをとり、直線AOとBC、BOとCA、COとABの交点をそれぞれD、E、Fとした時、以下の等式が成立することをいいます。

    チェバの定理の解説画像

    チェバの定理は、下の図のように、三角形の辺を順番になぞっていくイメージです。

    チェバの定理のイメージ画像

     

      ②チェバの定理の証明

      なぜチェバの定理は成り立つのでしょうか?この章では、なぜチェバの定理が成り立つのか(チェバの定理の証明)を解説します。

      チェバの定理における三角形で、三角形OAB三角形OACに注目します。

      このとき、△OAB / △OAC = BD / DC が成り立ちます。まずはこれを証明します。

      チェバの定理の証明解説画像

      下の図のように、点B、CからAD、ADの延長上に垂線をおろし、その交点をそれぞれ点P、Qとします。

      チェバの定理の証明解説画像

      このとき、

      △OAB = OA × BP / 2・・・①

      △OAC = OA × CQ / 2・・・②

      ですね。①②より、OAと2を消去して、

      △OAB : △OAC = BP : CQ・・・③

      ここで、BP // QCより、

      BP : CQ = BD : CD ・・・④

      ③④より、

      △OAB : △OAC = BD : CD

      となるので、

      △OAB / △OAC = BD / DC・・・⑤

      が証明されました。同様に考えて、

      △OBC / △OBA = CE / EA・・・⑥

      △OAC / △OBC = AF / FB・・・⑦

      となりますね。

      チェバの定理の証明解説画像

      よって、⑤~⑦より、

      AF / FB × BD / DC × CE / EA

      = △OAC / △OBC × △OAB / △OAC × △OBC / △OBA

      =1

      となり、チェバの定理が証明されました。

       

      ③チェバの定理の覚え方

      チェバの定理って覚えにくい!と感じている人のために、チェバの定理の覚え方を紹介します。

      ぜひこの覚え方で、チェバの定理を覚えてください!

      チェバの定理覚え方の紹介画像

      チェバの定理では、ある点(上の画像では、点A)からスタートし、三角形を1周してスタートの点(点A)に戻ってきます。

      そして、チェバの定理の公式にあるアルファベットに注目してください。

      AF→FB→BD→DC→CE→EA→(AE)となり、アルファベットが連なっているという法則性があります。チェバの定理の覚え方では、アルファベットの順番が重要なので、ぜひ知っておいてください!

      チェバの定理の覚え方は以上です。

      三角形を1周するということと、チェバの定理の公式には、アルファベットに法則性があるということを覚えておけば大丈夫です。

       

        ④チェバの定理:問題

        最後に、チェバの定理の問題を紹介します。

        チェバの定理の問題を解くことで、実際にどのようにしてチェバの定理を使うのかがイメージできるので、ぜひ解いてみてください。

        チェバの定理:問題

        下の図のような三角形があるとき、チェバの定理を使ってBP:PCを求めよ。

        チェバの定理問題の画像

        チェバの定理をそのままつかいましょう。

        AR / RB × BP / PC × CQ / QA = 1

        より、

        3 / 2 × BP / PC × 1 / 1 = 1

        なので、

        BP / PC = 2 /3

        したがって、

        BP:PC = 2:3・・・(答)

        となります。チェバの定理を使えば簡単に三角形の辺の比が求まることがお分かり頂けたかと思います。

         

          チェバの定理のまとめ

          いかがでしたか?

          チェバの定理の解説は以上です。チェバの定理は、知っておくとかなり便利な公式です。

          本記事でも紹介したチェバの定理の覚え方を使って、ぜひチェバの定理をマスターしておきましょう!

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          この記事の執筆者

          ニックネーム:やっすん

          早稲田大学商学部4年
          得意科目:数学