慶應生紹介!メネラウスの定理の覚え方はコレだ!証明・問題付き

数学 2017.2.15
慶應生紹介!メネラウスの定理の覚え方はコレだ!証明・問題付き

高校数学におけるメネラウスの定理について、慶應大学に通う筆者が、数学が苦手な生徒向けに丁寧に解説します。

スマホでも見やすいイラストを使いながらメネラウスの定理について解説しているので、わかりやすい内容です。

本記事を読めば、メネラウスの定理とは何か?・メネラウスの定理の覚え方・証明が数学が苦手でも理解できるでしょう。

最後には、メネラウスの定理を使った計算問題も用意しました。

ぜひ最後まで読んで、メネラウスの定理をマスターしましょう!

メネラウスの定理と一緒に、チェバの定理も学習しておくと非常に便利です。

ぜひチェバの定理について解説した記事もご覧ください。

 

    1:メネラウスの定理とは?イラストでよくわかる!

    まずは、メネラウスの定理とは何かについて、スマホでも見やすいイラストで解説していきます。

    メネラウスの定理とは、下のような図形があるとき、

    AD/DB×BE/EC×CF/FA=1

    が成り立つ定理のことです。

    メネラウスの定理とは何かの解説画像

    以上がメネラウスの定理とは何かの解説になりますが、少し覚えにくいですね。。

    なので、次の章ではメネラウスの定理の覚え方について紹介します。

     

      2:メネラウスの定理の覚え方

      メネラウスの定理の覚え方のポイントは、アルファベットに注目することです。

      下の図のように、

      AD→DB→BE→EC→CF→FAのようにたどっていき、

      メネラウスの定理では、アルファベットが繋がっている」ことを覚えておきましょう!

      メネラウスの定理の覚え方解説画像

      以上がメネラウスの定理の覚え方になります。

      メネラウスの定理は、ぜひアルファベットに注目してみてください。

       

      3:メネラウスの定理の証明

      本章では、メネラウスの定理がなぜ成り立つのかについて証明をしていきます。

      下図のようにEDを延長してB,A,Cから直線ED上に垂線を下ろし、それぞれの交点をG,H,Iとします。

      メネラウスの定理の証明解説画像

      この垂線は3本とも平行なので

      △EICと△EGBは相似より

      BG:CI=BE:EC

      BG/CI=BE/EC・・・①

      △EICと△EGBは相似

      △ADHと△BDGも相似より

      BG:AH=BD:DA

      AH/BG=DA/BD・・・②

      △ADHと△BDGは相似

      △AHFと△CIFも相似より

      AH:IC=AF:FC

      IC/AH=FC/AF・・・③

      △AHFと△CIFは相似

      ①〜③において、右辺同士、左辺同士をそれぞれを掛け合わせます。(下図参照)

      右辺同士、左辺同士をそれぞれを掛け合わせる

      すると、

      BE/EC × DA/BD × FC/AF(右辺同士)

      =BG/CI × AH/BG × IC/AH(左辺同士)

      整理すると、

      AD/DB×BE/EC×CF/FA=1

      となりメネラウスの定理が証明できました。

      メネラウスの定理の証明は以上で紹介したやり方以外にもいくつか証明方法があります。

      興味がある人は、「メネラウスの定理 証明」などで検索してみてください。

       

        4:メネラウスの定理の練習問題

        最後に、メネラウスの定理の練習問題を用意しました。

        ぜひ解いてメネラウスの定理が理解できたかを確認してください。

        もちろん、丁寧な解答&解説付きです。

        練習問題

        下図においてBO:OQとAP:POを求めよ。

        メネラウスの定理の練習問題

        解答&解説

        メネラウスの定理を当てはめてみると

        QC/CA×AR/RB×BO/OQ=1

        が成り立ちますね。

        つまり、

        4/5×5/2×BO/OQ=1

        より、

        BO/OQ=1/2
        したがって、

        BO:OQ=1:2・・・(答)

        です。

        次にAP:POを求めていきます。

        メネラウスの定理より、

        AC/CQ×QB/BO×OP/PA=1

        つまり、

        5/4×3/1×OP/PA=1

        なので、

        OP/PA=4/15

        よって、

        OP:PA=4:15

        問題文の形に直すと

        AP:PO=15:4・・・(答)

        となります。

        メネラウスの定理の適応部分が2箇所あるかに気づけるかがポイントです。

         

          メネラウスの定理のまとめ

          いかがでしたか?

          メネラウスの定理が理解できましたか?

          メネラウスの定理の覚え方としてはアルファベットが繋がっていることにぜひ注目してください。

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          この記事の執筆者

          ニックネーム:受験のミカタ編集部

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