円順列とは？わかりやすいイラストで定期テスト10点アップ

数A

数学 2018.10.30

円順列は、数学のセンター試験問題で頻繁に出題される、受験の必須分野です！

順列が含まれる場合の数・確率の分野は意外と苦手な受験生が多いので、この分野を得点源にできるようになると、他の受験生に大きく差をつけることができます。

この記事では、順列と円順列の問題の考え方を分かりやすく解説します。

→順列の理解に役立つ記事まとめはコチラ！

→円順列と数珠順列の違いはコチラ！

【目次】

１．円順列の基本：順列と組み合わせ

２．円順列

円順列のまとめ

１．円順列の基本：順列と組み合わせ

まず「順列」と「組み合わせ」とは何かについて復習していきましょう。
考え方をしっかり頭に入れておけば、「覚える」だけでなく、「理解する」ことができます。

教科書では以下のように説明されています。

順列：いくつかのものを順序を付けて並べたもの
組み合わせ：いくつかのものを順序を考えずに取り出したもの

例えば、A、B、C、D の4人の生徒の中から会長、副会長、書記を選出するときの事を考えましょう。
決め方としては色々あると思いますが、今回は以下の方法によって決めるものとします。

① A、B、C、Dの4人のなかからまず会長を決め、残った3人の中から副会長を決める。その後、残った2人の中から書記を決める。
② A、B、C、Dの4人の中から、委員にならない一人を決める。会長、副会長、書記の選び方は後日決める。

①の場合（順列の例）

4人の中から会長になる1人を選ぶ方法は4通りです。（Aを選ぶとします。）

残った3人（B、C、D）から副会長になる1人を選ぶので3通りです。（Bを選ぶとします。）

残った2人（C、D）から書記を選ぶので2通りです。（Cを選ぶとします。）

これらを掛けて4×3×2＝24通りの選び方があることになります。

②の場合（組み合わせの例）

委員にならない1人を決めるので、4通りの選び方があります。

この①と②の違いが「順列」と「組み合わせ」の違いです。

②の場合では、ひとまず役職は決めずに、役員になる3人を選びました。
誰がどの役職につくかは考えていません。

つまり、4人のなかから3人を選ぶ「組み合わせ」を考えたのです。

それに対して①の場合は、誰がどの役に就くかまで考えました。
これは、役が決まった人から順番に並べていく事と同じですので「順列」です。

では、②の場合、後日委員を決めることになっていますが、その決め方は何通りになるでしょうか。

委員にならなかった人	会長、副会長、書記
A	B : C : D B : D : C C : B : D C : D : B D : B : C D : C : B
B	A : C : D A : D : C C : A : D C : D : A D : A : C D : C : A
C	A : B : D A : D : B B : A : D B : D : A D : A : B D : B : A
D	A : B : C A : C : B B : A : C B : C : A C : A : B C : B : A

総当たりで数えてみると、24通りとなり、①の結果と一致します。

表の右側を見ると、例えばBとCとDの並び替えになっていることに気づくでしょうか。
このことは以下の事実を示しています。

（4人から3人を選んで並べる順列）＝（4人から3人を取り出す組み合わせ）×（3人を並び替える順列）

ここで、順列と組み合わせの記号を復習しておきましょう。

（4人から3人を選んで並べる順列）＝4×3×2 ＝4P3
（4人から3人を取り出す組み合わせ）＝4 ＝4C3
（3人を並び替える順列）＝3×2×1＝3 !

となります。順列の記号P（Permutation）と組み合わせの記号C（Combination）です。
順列の記号は、4から順番に3つの自然数を（1ずつ引きながら）掛けるという意味です。

よって、3の階乗と同義になります。
では、組み合わせの記号Cについてはどうでしょうか。

さっきの

4P3（4人から3人を選んで並べる順列）＝4C3（4人から3人を取り出す組み合わせ）×3 !（3人を並び替える順列）

から

4C3（4人から3人を取り出す組み合わせ）＝4P3（4人から3人を選んで並べる順列）÷3 !（3人を並び替える順列）

となります。

２．円順列とは？

続いて、円順列とは何かについて考えましょう。
教科書では円順列は以下のように説明されています。

円順列：異なるｎ個のものを円形に並べたもの

例えばA、B、C、D、Eの5人が丸いテーブルに座る方法について考えます。

これが単純なA、B、C、D、Eの5人の順列であったなら、並び方は5 ! ＝120通りです。
しかし、円順列では回転すると同じ並び順になるような並び方は、同じ並び方であると考えます。

単純な順列における「ABCDE」「BCDEA」「CDEAB」「DEABC」「EABCD」という5通りの並び方、でそれぞれ両端の人が手をつないだらどうなるでしょうか。

順番に何周も点呼をとっていくと、
「ABCDE」→ ＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥ……
「BCDEA」→ 　ＢＣＤＥＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥ……
「CDEAB」→ 　　ＣＤＥＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥ……
「DEABC」→ 　　　ＤＥＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥ……
「EABCD」→ 　　　　ＥＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥ……
となり、それぞれ同じ順番で点呼を取ることになります。

上の例を見て分かるように、A、B、C、D、Eの順番はどの順列であっても変わりません。
これらの並び替え方を同じと考えるのが円順列です。

では、この例における座り方は何通りあるでしょうか。単純な順列を考える時と円順列を考える時を比べてみましょう。
単純な順列における「ABCDE」「BCDEA」「CDEAB」「DEABC」「EABCD」という5通りの並び方を、円順列では1通りと考えました。