条件付き確率とは?くじ引きを用いた例題から公式を理解し、サイコロ・玉の問題を解いてみよう!

数学 2018.8.6

数学Aの確率の分野で1番最後に習うのが条件付き確率

公式には文字がたくさんあってわかりづらいですよね。

ですが今回は、数学が苦手な人でも理解できるようにくじ引きの例題とベン図を用いて、条件付き確率について丁寧に解説します。

記事最後には、サイコロ・玉を用いた問題も付いていますので、この記事を通して条件付き確率をマスターしましょう!

1.条件付き確率とは?

この記事では条件付き確率とは何かということについて説明していきたいのですが

まずは、簡単なくじ引きの例を挙げてみましょう。

「袋の中に当たりくじと外れくじが2枚ずつあるとします。
この袋からAさん、Bさんの順に1枚ずつ引いていきます。
まずはAさんが当たりくじ(赤色)を引きました。

そして、Bさんがくじを引こうとしています。」

こんなシチュエーションです。

Bさんが当たりくじを引きたいと思っているなら最悪の状況ですね。

「もしも、Aさんが外れくじを引いてたらよかったのに!」って思いますよね。

この状況でBさんが当たりくじ、あるいは外れくじを引く確率を求めるのが条件付き確率なのです。

では、このとき実際にBさんが当たりくじを引く条件付き確率を考えてみましょう。

まず、袋の中には当たりくじが2個、外れくじが2個入っています。
この中からAさんは当たりくじを引きます。
この状態においてBさんが当たりを引く確率はです。

なぜなら当たりくじ(赤色)が1個と外れくじ(白色)が2個ある袋の中から当たりくじ(赤色)1個を引けばよいからです。

ちなみに、Bさんが外れを引く確率はで、
その理由は当たりくじ当たりくじ(赤色)が1個と外れくじ(白色)が2個ある袋の中から
外れくじ(白色)2個のどちらかを引けばよいからです。

もし、これが入試問題等として出されるのなら
「袋の中に当たりくじが2枚、外れくじが2枚あります。Aさん、Bさんの順で1枚ずつ引くとき
Aさんが当たりくじを引いた下でBさんが当たりくじを引く確率を求めよ。」と出題され、
これが求める条件付き確率となります。(ちなみに答えは上と同じでです。)

さて、一体なにが条件付きなのでしょうか?

問題文に、”Aさんが当たりくじを引いた下で”という箇所があります。

これが条件付きなのです。

当たり前ですが、Aさんは当たりくじを引くかもしれないし外れくじを引くかもしれません。
”どっちを引くかわからないけどね、Aさんが当たりくじを引いたっていう状況から、
Bさんは当たりくじをどれぐらいの確率で引くか?”

と「ある条件下で求める」と解釈できるのが条件付き確率の問題です。

2.条件付き確率の公式

条件付き確率の公式は

です。

この公式は
「事象Aが起こった条件の下で、事象Bが起きる確率」
と定義されています。

公式をベン図を用いて考えてみましょう。

公式のP(A∩B)はベン図の緑色の部分です。
一方、P(A)は灰色と緑色を合わせた部分です。

すると、条件付き確率の定義である
「事象Aが起こった条件の下で、事象Bが起きる確率」
すなわち、P(A)が分母、P(A∩B)が分子にくるということが視覚的にイメージできます。

また、ベン図からP(A∩B)はP(A)よりも小さいので求める確率は絶対に1以下となります。
これは確率の特徴を満たし、もし1より大きければ間違っているということです。

それでは先ほどで紹介した例題公式を当てはめて確率を求め、確認してみましょう。

ここでは
事象A:Aさんが当たりくじを引く
事象B:Bさんが当たりくじを引く
とします。
事象Aが起こる確率はAさんが袋の中にある4枚のくじから2枚ある当たりのどちらかを引けばよいので

 

一方、事象Aと事象Bが共に起こるということは、Aさん・Bさんの順にくじを引くので

まずAさんが当たりくじを引いたあとにBさんが当たりくじを引けばよい。

Aさんが当たりくじを引く確率は4枚のくじの中から2枚ある当たりのどちらかを引けばよいので

Bさんが当たりくじを引く確率は1回目にAさんが当たりくじを引いたので

当たりくじ1枚と外れくじ2枚ある袋の中から1枚引けばよいので

よって事象Aと事象Bが共に起こる確率は

これらを先ほどの公式に代入してみると

となり、

例題と同じ答えになりましたね。

もしも、
「あれ、条件付き確率って結局何求めるんだっけ?」
「公式忘れちゃった」
となったら
紹介した簡単な例題ベン図を考えるのがおススメです。

とっても便利なのでこれから問題を解くときは公式に代入して解いていきましょう!

また、条件付き確率の公式からベイズの定理を導くことができます。
これは皆さんが大学入学後に学ぶことなので、受験には関係ないですが
大切な定理なので言葉ぐらいは覚えていても損はないかと思います。

3.条件付き確率の問題

では、さっそく問題を解いてみましょう。

問題:大小のサイコロが1つずつあります。この2つのサイコロを同時に振り、出た2つの目の和が9のときに小さいサイコロの出た目が2の倍数である確率を求めよ。

【解答・解説】

サイコロの目の出方は大小それぞれ6通りあるので6×6=36通りである。

まず、事象Aを2つの目の和が9、事象Bを小さいサイコロの目が2の倍数とする。

事象Aが起こる確率について考える。

すると、

3 4 5 6
6 5 4 3

となるような目の出方であれば目の和が9となる。

よって、これは4通りあるので

となる。

次に事象Aと事象Bが共に起こる確率について考える。

すると、

3 5
6 4

となるような目の出方であれば和が9かつ小さいサイコロの目が2の倍数になる。

よって、これは2通りあるので
となる。

以上より、求める条件付き確率は

となる。

問題:袋の中に赤玉が3個、白玉が2個あるとする。袋の中から玉を1個ずつ2回取り出す。2回目に取り出した玉が白であるとき1回目に取り出した玉が赤である確率を求めよ。

【解答・解説】

玉の取り方は1回目に5通り、2回目に4通りあるので全部で20通りの取り出し方がある。

まず、事象Aを2回目に取り出した玉が白である、事象Bを1回目に取り出した玉が赤であるとする。

事象Aが起こる確率について考えてみる。

2回目に白を取り出せばよいので
①1回目が白、2回目が白
②1回目が赤、2回目が白
という2パターンがある。

①は1回目が2通り、2回目が1通りの取り出し方があるので1×2=2通りの取り出し方がある。

②は1回目が3通り、2回目が2通りの取り出し方があるので3×2=6通りの取り出し方がある。

よって、合わせて8通りある。

次に事象Aと事象Bが共に起こる確率について考える。

これは1回目が赤、2回目が白
という1パターンである。

1回目は3通り、2回目は2通りの取り出し方があるので3×2=6通りの取り出し方がある。

以上より、求める条件付き確率は

となる。


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この記事の執筆者

ニックネーム:りょう

早稲田大学中退後、上智大学に入学
埼玉県出身
好きなこと:旅行、サッカー
得意科目:数学、物理
ハマっていること:筋トレ

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