9/2は宝くじの日!実際のデータから宝くじの期待値を求めてみた

数学 2017.8.17
9/2は宝くじの日!実際のデータから宝くじの期待値を求めてみた

知ってましたか?9月2日は宝くじの日です。

ごろ合わせで9(く)2(じ)。というわけで宝くじの日になっています。

宝くじってだいたいどのくらいの確率で当たりがでるの?いくらぐらい当たるの?

と感じている人も多いでしょう。

今回はその確率を期待値によって求めていきたいと思います!

 

    1.宝くじで当たる確率は何で求める?

    
    

    宝くじのイメージ

    そもそも数学を使うって言っても何を使うかわからない!って思いますよね?

    答えからいうと「期待値」というものを使います。

    宝くじは1等、2等、3等・・・という風に値段が変わってきます。

    したがって、それぞれの値段によって確率が変わってくるので「期待値」を使います。

     

      2:期待値とは?

      期待値で求めることはもうわかったと思います。

      しかし、そもそも期待値はとは何なのでしょうか?

      まず、期待値の説明の前に必要な確率変数について説明します。

      確率変数とは?

      Xがx1,x2・・・・・・,xkのいづれかの値をとる変数であり、Xが1つの値xkをとる確率P(X=xk)が定まるような変数である時のXのこと。

      ・・・・・・ xn
      ・・・・・・ pn

      xkとpkの対応関係は、上の表のようになります。

      このときp1+p2+・・・・・・+pk=1になります。

      次に期待値について説明します。

      期待値とは?

      確率変数Xが上に示された分布に従うときの(変数X)×(確率P)の和のことです

      期待値E(X)=x1p1+x2p2+・・・・・・+xnpn

      で求めることができます

       

      3:実際に期待値を求めてみよう(練習編)

      ここで期待値についてわかったところで数字を使って求めていきたいと思います。

      まずは分かりやすいように簡単な数字を使って練習していきましょう!

      例題

      1等から6等まである宝くじがあるとします。

      1等から順に枚数は2枚、5枚、8枚、15枚、30枚、40枚です。

      また、確率はそれぞれ2/100、5/100、8/100、15/100、30/100、40/100とします。

      更に、1等から順に1万円、7千円、5千円、3千円、千円、500円もらえるとします。

      この100枚から1枚を引いた時にもらえる金額の期待値を求めなさい。

      解答&解説

      まず、見やすくするために、確率分布表を作ります。

      確率分布表とは確率変数(x)と確率(p)を並べて書いた下の表です。

      *今回の確率変数とは値段のこと。

      値段(x)円 10,000 7,000 5,000 3,000 1,000 500
      確率(p) 2

      /100

      5

      /100

      8

      /100

      15

      /100

      30

      /100

      40

      /100

      期待値=(x)・(p)

      =10,000・2/100+7,000・5/100+5,000・8/100+3,000・15/100+1,000・30/100+500・40/100

      =1,900・・・(答)

      つまりこの場合は、宝くじ1枚の値段が1,900円未満であるならば、この宝くじは買った方が得ということになります。

       

        4:実際の宝くじのデータで期待値を求めてみよう

        練習編では数字を簡単にしていたので、本章では実際の宝くじのデータを用いて期待値を求めていきたいと思います。

        例題

        下の表はとある実際の宝くじのデータである。

        この166,010枚から1枚引いた時に出る金額の期待値を求めなさい。

        確率(x) 値段(p)
        1

        /166010

        200,000,000
        4

        /166010

        16,698,100
        200 200

        /166010

        360,600
        10,211 10,211

        /166,010

        7,400
        155,594 155,594

        /166,010

        1,000
        166,010 1 /

        解答&解説

        期待値=(x)・(p)

        200,000,000・1/166010+16,698,100・4/166010+360,600・200/166010+

            7,400・10,211/166,010+1,000・155,594/166,010

        3433.9・・・(円)

        よってこの宝くじの期待値は約3,434円(答え)となります。

        つまり、このとある宝くじ1枚の値段が3,434円未満であるならば、この宝くじは買った方が得ということになります。

        どうですか?求められましたか?期待値はどれだけ数字が複雑になっても基本は(確率)・(変数)

        で求められます!ぜひマスターしてくださいね!

         

        いかがでしたか?これで宝くじが期待値で求めることが理解できましたか?

        期待値をつかうことで、宝くじだけでなく日常の様々な事象の確率を求めることができますよ!!

        期待値を使っていろんな確率を求めてみてください!

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        この記事の執筆者

        ニックネーム:受験のミカタ編集部

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