9/2は宝くじの日！実際のデータから求める宝くじの期待値

知ってましたか？９月２日は宝くじの日です。

ごろ合わせで９（く）２（じ）。というところから宝くじの日になっています。

宝くじってだいたいどのくらいの確率で当たりがでるの？いくらぐらい当たるの？

と感じている人も多いでしょう。

今回はその確率を期待値によって求めていきたいと思います！

宝くじで当たる確率は「期待値」で求める

今回は数学の「期待値」を使って、宝くじがどのくらい当たるのかというのを求めていきます。

宝くじは１等、２等、３等・・・という風に等数分かれていますよね？この等数によって当選金額と当選確率が変化してきます。

宝くじでいう「期待値」は何等がどのくらいの確率で当たるかを計算し、宝くじの価値がどのくらいかを計算したものになります。

２：数学における「期待値」

期待値の概要は何となくわかったと思います。次に実際に数学で使う用語に置き換えて期待値を理解してみましょう。

確率変数とは？

Xがx₁,x₂・・・・・・,x_kのいづれかの値をとる変数であり、Ｘが１つの値xkをとる確率Ｐ（X=x_k)が定まるような変数である時のＸのこと。

Ｘ	ｘ１	ｘ２	・・・・・・	xn	計
Ｐ	ｐ１	ｐ２	・・・・・・	pn	１

x_kとp_kの対応関係は、上の表のようになります。

このときp₁+p₂+・・・・・・+p_k=1になります。

次に期待値について説明します。

期待値とは？

確率変数Ｘが上に示された分布に従うときの（変数Ｘ）×（確率Ｐ）の和のことです

期待値Ｅ(X)=x₁p₁+x₂p₂+・・・・・・+x_np_n

で求めることができます

３：実際に期待値を求めてみよう（練習編）

ここで期待値についてわかったところで数字を使って求めていきたいと思います。

まずは分かりやすいように簡単な数字を使って練習していきましょう！

例題

１等から６等まである宝くじがあるとします。

１等から順に枚数は２枚、５枚、８枚、１５枚、３０枚、４０枚です。

また、確率はそれぞれ2/100、5/100、8/100、15/100、30/100、40/100とします。

更に、１等から順に１万円、７千円、５千円、３千円、千円、５００円もらえるとします。

この１００枚から１枚を引いた時にもらえる金額の期待値を求めなさい。

解答＆解説

まず、見やすくするために、確率分布表を作ります。

確率分布表とは確率変数(x)と確率(p)を並べて書いた下の表です。

＊今回の確率変数とは値段のこと。

等	１	２	３	４	５	６
値段(x)円	10,000	7,000	5,000	3,000	1,000	500
確率(p)	2 /100	5 /100	8 /100	15 /100	30 /100	40 /100

期待値＝(x)・(p)

=10,000・2/100+7,000・5/100+5,000・8/100+3,000・15/100+1,000・30/100+500・40/100

=1,900・・・（答）

つまりこの場合は、宝くじ１枚の値段が1,900円未満であるならば、この宝くじは買った方が得ということになります。

4：実際の宝くじのデータで期待値を求めてみよう

練習編では数字を簡単にしていたので、本章では実際の宝くじのデータを用いて期待値を求めていきたいと思います。

例題

下の表はとある実際の宝くじのデータである。

この166,010枚から１枚引いた時に出る金額の期待値を求めなさい。

等	口	確率(x)	値段(p)
１	１	1 /166010	200,000,000
２	４	4 /166010	16,698,100
３	200	200 /166010	360,600
４	10,211	10,211 /166,010	7,400
５	155,594	155,594 /166,010	1,000
計	166,010	1	/

解答＆解説

期待値＝（ｘ）・（ｐ）

＝200,000,000・1/166010＋16,698,100・4/166010＋360,600・200/166010＋

　　　　7,400・10,211/166,010＋1,000・155,594/166,010

＝3433.9・・・（円）

よってこの宝くじの期待値は約3,43４円（答え）となります。

つまり、このとある宝くじ１枚の値段が3,434円未満であるならば、この宝くじは買った方が得ということになります。

どうですか？求められましたか？期待値はどれだけ数字が複雑になっても基本は（確率）・（変数）

で求められます！ぜひマスターしてくださいね！

いかがでしたか？これで宝くじが期待値で求めることが理解できましたか？

期待値をつかうことで、宝くじだけでなく日常の様々な事象の確率を求めることができますよ!!

期待値を使っていろんな確率を求めてみてください！

 

み

この記事の執筆者

ニックネーム：受験のミカタ編集部

「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している「受験応援メディア」です。