9/2は宝くじの日!実際のデータから求める宝くじの期待値

知ってましたか?9月2日は宝くじの日です。
ごろ合わせで9(く)2(じ)。というところから宝くじの日になっています。
宝くじってだいたいどのくらいの確率で当たりがでるの?いくらぐらい当たるの?
と感じている人も多いでしょう。
今回はその確率を期待値によって求めていきたいと思います!
宝くじで当たる確率は「期待値」で求める
今回は数学の「期待値」を使って、宝くじがどのくらい当たるのかというのを求めていきます。
宝くじは1等、2等、3等・・・という風に等数分かれていますよね?この等数によって当選金額と当選確率が変化してきます。
宝くじでいう「期待値」は何等がどのくらいの確率で当たるかを計算し、宝くじの価値がどのくらいかを計算したものになります。
2:数学における「期待値」
期待値の概要は何となくわかったと思います。次に実際に数学で使う用語に置き換えて期待値を理解してみましょう。
確率変数とは?
Xがx1,x2・・・・・・,xkのいづれかの値をとる変数であり、Xが1つの値xkをとる確率P(X=xk)が定まるような変数である時のXのこと。
X | x1 | x2 | ・・・・・・ | xn | 計 |
P | p1 | p2 | ・・・・・・ | pn | 1 |
xkとpkの対応関係は、上の表のようになります。
このときp1+p2+・・・・・・+pk=1になります。
次に期待値について説明します。
期待値とは?
確率変数Xが上に示された分布に従うときの(変数X)×(確率P)の和のことです
期待値E(X)=x1p1+x2p2+・・・・・・+xnpn
で求めることができます
3:実際に期待値を求めてみよう(練習編)
ここで期待値についてわかったところで数字を使って求めていきたいと思います。
まずは分かりやすいように簡単な数字を使って練習していきましょう!
例題
1等から6等まである宝くじがあるとします。
1等から順に枚数は2枚、5枚、8枚、15枚、30枚、40枚です。
また、確率はそれぞれ2/100、5/100、8/100、15/100、30/100、40/100とします。
更に、1等から順に1万円、7千円、5千円、3千円、千円、500円もらえるとします。
この100枚から1枚を引いた時にもらえる金額の期待値を求めなさい。
解答&解説
まず、見やすくするために、確率分布表を作ります。
確率分布表とは確率変数(x)と確率(p)を並べて書いた下の表です。
*今回の確率変数とは値段のこと。
等 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
値段(x)円 | 10,000 | 7,000 | 5,000 | 3,000 | 1,000 | 500 |
確率(p) | 2
/100 |
5 /100 |
8 /100 |
15 /100 |
30 /100 |
40 /100 |
期待値=(x)・(p)
=10,000・2/100+7,000・5/100+5,000・8/100+3,000・15/100+1,000・30/100+500・40/100
=1,900・・・(答)
つまりこの場合は、宝くじ1枚の値段が1,900円未満であるならば、この宝くじは買った方が得ということになります。
4:実際の宝くじのデータで期待値を求めてみよう
練習編では数字を簡単にしていたので、本章では実際の宝くじのデータを用いて期待値を求めていきたいと思います。
例題
下の表はとある実際の宝くじのデータである。
この166,010枚から1枚引いた時に出る金額の期待値を求めなさい。
等 | 口 | 確率(x) | 値段(p) |
1 | 1 | 1
/166010 |
200,000,000 |
2 | 4 | 4
/166010 |
16,698,100 |
3 | 200 | 200
/166010 |
360,600 |
4 | 10,211 | 10,211
/166,010 |
7,400 |
5 | 155,594 | 155,594
/166,010 |
1,000 |
計 | 166,010 | 1 | / |
解答&解説
期待値=(x)・(p)
=200,000,000・1/166010+16,698,100・4/166010+360,600・200/166010+
7,400・10,211/166,010+1,000・155,594/166,010
=3433.9・・・(円)
よってこの宝くじの期待値は約3,434円(答え)となります。
つまり、このとある宝くじ1枚の値段が3,434円未満であるならば、この宝くじは買った方が得ということになります。
どうですか?求められましたか?期待値はどれだけ数字が複雑になっても基本は(確率)・(変数)
で求められます!ぜひマスターしてくださいね!
いかがでしたか?これで宝くじが期待値で求めることが理解できましたか?
期待値をつかうことで、宝くじだけでなく日常の様々な事象の確率を求めることができますよ!!
期待値を使っていろんな確率を求めてみてください!