ひし形の面積の公式(求め方)を解説!対角線と面積の関係とは?

数学 2022.8.9
ひし形の面積の公式(求め方)を解説!対角線と面積の関係とは?

この記事では、ひし形の面積の公式(求め方)について、数学が苦手な人でも理解できるように丁寧に解説します。

また、一方の対角線が分からない場合の、ひし形の面積の求め方も詳しく説明しています。

そして最後に、ひし形の面積を求める練習問題も用意しましたので、学習したことが定着しているかを確認できますよ。

ぜひ最後まで読んで、ひし形の面積をマスターしましょう。

 

    1:ひし形の面積の公式(求め方)

    ひし形の面積は「対角線×対角線÷2」で求めることができます。

    ひし形の面積の公式は対角線×対角線÷2

    ひし形には、長い対角線と短い対角線の2種類の対角線があるので、注意が必要ですが、求め方は非常にシンプルですね。

    では、なぜひし形の面積は「対角線×対角線÷2」で求めることができるのでしょうか?

    その理由を次の章で学習していきます。

      2:ひし形の面積の公式が成り立つ理由。なぜ対角線から面積が求められるの?

      ひし形の面積は、なぜ「対角線×対角線÷2」で求めることができるのでしょうか。

      図を使って簡単に説明していきますね。

      ひし形 公式説明

      まず、上の図のように、対角線と平行な直線でひし形を囲むと、長方形ができます。

      この長方形は、赤色の直角三角形8個分でできていることが分かりますね。

      ひし形の面積は直角三角形4個分。つまり、ひし形の面積は長方形のちょうど半分の面積になります。

      長方形の面積は、たて×横で求めることができるので、この図形では、対角線×対角線で求めることができると言えます。

      そして、その面積の半分がひし形の面積なので、対角線×対角線÷2になるというわけです。

      2-1:対角線の長さが一つしかわからないときは、「三平方の定理」を使おう!

      では、対角線の長さが一方しか分かっていない場合は、どうやって求めればいいのでしょうか。

      一方の対角線の長さと辺の長さが分かっていれば、三平方の定理を使って、もう一方の対角線の長さを求めればいいのです。

      例題1(三平方の定理利用)

      たとえば、上のようなひし形ABCDがあり、対角線の交点をEとし、ひし形の一辺の長さ(AB)5cm、一方の対角線(AC)の長さを6cmとします。

      このとき、三角形ABEは直角三角形なので、この三角形ABEに対して三平方の定理を適用していきましょう。

      三平方の定理より、AB2=AE2+BE2となり、AB=5AE=÷2=3なので、

      52=32+BE2

      という式が成り立ちます。これを解くと、BE=4cmと分かります。

      BEの長さは、対角線BDの長さの半分なので、BD=4×2=8cm。

      すなわち、ひし形ABCDの面積は、

      6×8÷2=24cm2となるのです。

      このようにして、一方の対角線の長さが分からない場合でも三平方の定理を上手く利用すれば、ひし形の面積を求めることができますよ。

      三平方の定理が苦手だなと思う人は、三平方の定理を慶應生が超わかりやすく解説!公式・証明・計算問題付きを参考にしてみてくださいね。

        3:ひし形の面積を求める練習問題

        それでは、先ほど学習したひし形の面積の公式を使って、練習問題を解いてみましょう。

        練習問題

        (1)以下のひし形ABCDの面積を求めよ。ただし、AC=6cm、BD=10cmとする。

        練習問題(1)

         

        (2) 以下のひし形ABCDの面積を求めよ。ただし、AB=13cmAC=10cmとする。

        練習問題(2)

         

        解答&解説

        (1) ひし形の面積の公式(求め方)は「対角線×対角線÷2」でしたね。

        求めるひし形の面積は

        6×10÷2 = 30cm2・・・(答)

        となります。

        ひし形の面積は公式さえ覚えていれば簡単ですね。

         

        (2) 一方の対角線が分からない場合は、一辺の長さと分かっている方の対角線の長さに三平方の定理を適用して、もう一方の対角線の長さを求めればよかったですね。

        2本の対角線の交点をEとすると、AEの長さはACの長さの半分なので、

        AE=10÷2=5cm

        三角形ABEに三平方の定理を適用すると、

        AB2=AE2+BE2より、132=52+BE2なので、これを解くと、BE=12cmとなります。

        BCの長さはBEの長さの2倍なので、

        BC=12×2=24cm

        したがって、ひし形の面積は、10×24÷2=120cm2・・・(答)

        となります。

          ひし形の面積の公式のまとめ

          ひし形の面積の公式と、公式が成り立つ理由が理解できましたか?

          ひし形の面積の公式は数学の基本となりますので、ぜひ覚えておきましょう!

          また、一方の対角線が分からない場合は、三平方の定理を用いて、もう一方の対角線の長さを求めることができます。

          三平方の定理を復習したい人は、「三平方の定理を慶應生が超わかりやすく解説!公式・証明・計算問題付き」を参考にしてみてください。

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          この記事の執筆者

          ニックネーム:受験のミカタ編集部

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