簡単!正三角形の面積公式が一瞬で分かる!見やすい図で徹底解説

数学 2017.3.2

正三角形の面積の公式・求め方について慶応大学に通う筆者が丁寧に解説します。

数学が苦手な人でも正三角形の面積の公式・求め方が理解できるよう、スマホでも見やすいイラストを使いながら解説します。

正三角形の面積の公式を暗記していれば、問題もすぐに解くことができます!

ぜひ本記事で、正三角形の面積の公式・求め方を理解しましょう!

【 目次 】

1:正三角形の面積の公式

2:正三角形の面積の公式で問題を解いてみよう!

3:正三角形の面積の公式の証明

 

1:正三角形の面積の公式

正三角形のイメージ

では早速、正三角形の面積の公式を紹介します。

下のイラストのように、1辺がaの正三角形があるとき、この正三角形の面積は

√3/4・a2

で求めることができます。

正三角形の面積の公式

簡単ですよね?

正三角形の面積の公式は以上になります。

では、以上の公式を使って正三角形の面積を求める問題を1つ解いてみましょう!

 

2:正三角形の面積の公式を使って問題を解いてみよう!

正三角形のイメージ

では、先ほど学習した正三角形の面積の公式を使ってみてください!

問題

下のイラストのように、1辺が8の正三角形がある。

この正三角形の面積を求めよ。

1辺が8の正三角形

解答&解説

正三角形の面積の公式は

√3/4・a2

でしたね。今回は正三角形の1辺が8なので、

√3/4・82

= √3/4・64

=16√3・・・(答)

簡単に正三角形の面積を求めることができましたね!

正三角形の面積の公式は非常に便利なので、ぜひ覚えておきましょう!

 

3:正三角形の面積の証明

正三角形のイメージ

では、なぜ正三角形の面積の公式は成り立つのでしょうか?

本章では、正三角形の面積の証明を行っていきます。

証明では、下のイラストのように、1辺がaの正三角形ABCで考えていきます。

1辺がaの正三角形ABC

証明

まず、正三角形の頂点から垂線を下ろし、BCとの交点をDとする。

この時、点DはBCの中点になる。

正三角形の頂点から垂線を下ろした場合

ここで、三角形ADCに三平方の定理を適応する。

※三平方の定理を忘れてしまった人は、三平方の定理について詳しく解説した記事をご覧ください。

すると、

AD2

= a2-(a/2)2

= 3/4・a2

より、

AD = √3/2・a

となる。

正三角形ABCのADの長さ

すると、三角形ADCの面積は

(a/2)・(√3/2・a)・1/2

=√3/8・a2・・・①

である。

ここで、三角形ABD=三角形ADCなので、

三角形ABC

= ①×2

= √3/4・a2

となり、正三角形の面積の公式の証明ができました。

正三角形の面積の公式は知っていると便利ですが、忘れるとかなり危険です。

なぜ正三角形の面積の公式が成り立つのかをしっかり理解しておきましょう!

 

いかがでしたか?

正三角形の面積の公式と証明が理解できましたか?

繰り返しになりますが、正三角形の面積の公式はとても便利なので、ぜひ覚えておきましょう!


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