因数定理を即理解!絶対知っておくべき使い方も紹介!

数学 2016.12.8
因数定理を即理解!絶対知っておくべき使い方も紹介!

因数定理とは何かが数学が苦手な人でも理解できる記事です。現役の早稲田生が因数定理について丁寧に解説しています。

本記事を読めば、因数定理とは何か・因数定理の証明・因数定理の使い方が理解できるでしょう。

最後には、因数定理の練習問題も用意しました。

ぜひ最後まで読んで、因数定理をマスターしましょう!

→因数分解に役立つ記事まとめはコチラ!

 

    1:因数定理とは

    まずは、因数定理とは何かについて解説していきます。

    因数定理とは、簡単に述べると、「多項式f(x)が(x-a)という因数を持つことの必要十分条件はf(a)=0が成り立つこと」という定理のことです。

    ※必要十分条件が理解できていない人は、必要十分条件について解説した記事をご覧ください。

    因数定理とは何かの解説画像

    ※因数とは?

    →因数とは、ある数を掛け算で表現したときのその個々の数(式)のことです。

    【因数の例1】

    6は「2×3」なので、6の因数は2と3です。

    【因数の例2】

    x2+5x+6は「(x+2)(x+3)」なので、x2+5x+6の因数は(x+2)と(x+3)です。

    因数とは何かの解説画像

    以上が因数定理とは何かの解説です。次の章では、なぜ因数定理は成り立つのか?の証明(因数定理の証明)を解説していきます。

     

      2:因数定理の証明

      では、因数定理「多項式f(x)が(x-a)を因数に持つことの必要十分条件はf(a)=0が成り立つこと」を証明していきましょう。

      因数定理:十分条件の証明

      まずは多項式f(x)が(x-a)を因数に持つとき、f(a)=0が成り立つことを証明します。(十分条件の証明)

      多項式f(x)を(x-a)で割ったときの商をQ(x)、余りをRとおきます。

      すると、

      f(x)=Q(x)(x-a)+R

      と表すことができますね。

      両辺のxにaを代入すると

      f(a)

      =Q(a)(a-a)+R

      =Q(a)×0+R

      =R

      となります。

      f(x)が(x-a)を因数に持つためには、f(x)が(x−a)で割り切れなくてはいけませんね。

      したがって、余りRが0でなくてはいけません。

      よってf(a)=0が成り立つことがわかります。

      因数定理:必要条件の証明

      次に、多項式f(a)=0ならばf(x)が(x-a)を因数に持つことを証明します。(必要条件の証明)

      上と同様にf(x)を(x-a)で割ったときの商をQ(x)、余りをRとおきます。

      そうすると先ほど同様、

      f(x)=Q(x)(x-a)+R

      と表すことができます。

      ここで、x=aを代入すると、f(a)=Rとなります。

      ここで、f(a)=0と仮定していたのでR=0になります。

      よってf(a)=0ならばf(x)は(x-a)を因数に持つことがわかります。

      したがって、f(x)が(x-a)を因数を持つことの必要十分条件はf(a)=0になります。

      以上が因数定理の証明の解説になります。

      次の章からは、因数定理の具体的な使い方を学習していきましょう!

       

      3:因数定理の具体例その1

      では、因数定理は数学の問題で実際にどのように利用するのでしょうか?

      本章では、因数定理の具体例を見ていきます。

      因数定理の例題

      x3-x2-5x+6=0を因数分解せよ。

      解答&解説

      一見して因数分解をできる人はほとんどいないと思います。

      では、どうやって因数分解をするのでしょうか?

      ここで因数定理を使っていきます。

      x=1を代入した場合、1-1-5+6=1となり、0になりません。

      次に、x=2を代入してみます。

      代入してみると、8-4-10+6=0となります。

      よって、因数定理から(x-2)を因数に持つことがわかります。

      したがって

      x3-x2-5x+6

      (x-2) (x2+x-3)・・・(答)

      と因数分解できることが因数定理よりわかりました。

       

        4:因数定理の具体例その2

        因数定理を使った応用問題も解いていきましょう。

        因数定理の応用問題

        f(x)=x3-ax2+5x+8は(x+1)を因数に持つ。aの値を求めよ。

        解答&解説

        (x+1)を因数に持つので、因数定理からx=-1を代入するとf(x)=0になることがわかります。

        実際にx=-1を代入してみると

        f(x)

        =(-1)3-a(-1)2+5・(-1)+8

        =-a+2・・・①

        ここで、①=0を満たせば良いので、

        a=2・・・(答)

        ということがわかります。

        以上が因数定理の具体的な使い方でした。以上で紹介した2つの因数定理の問題はテストでも頻繁に出題されるので、必ずできるようにしておきましょう!

         

          5:因数定理の練習問題

          最後に、因数定理の練習問題を2つご用意しました。

          ぜひ解いて、因数定理をマスターしましょう!

          因数定理の練習問題1

          f(x)=x3+4x2-11x-30=0を因数分解せよ。

          解答&解説

          因数定理の具体例その1同様に、f(x)にx=3を代入すると、f(x)=0になることがわかります。

          よって因数定理からf(x)は(x-3)を因数に持ちます。

          よって、f(x)を(x-3)で割ると(x2+7x+10)となるので、

          x3+4x2-11x-30

          =(x-3)(x2+7x+10)・・・①

          と表すことができ、さらに因数分解できるので

          =(x-3)(x+2)(x+5)・・・(答)

          となります。

           

          因数定理の練習問題2

          f(x)=x3+ax2+bx-20は(x-4)で割り切れ、(x+2)で割ると18余る。

          a,bの値を求めよ。

          解答&解説

          f(x)は(x-4)を因数に持つので、因数定理よりx=4のときf(x)=0になるので、

          43+a・42+b・4-20=0

          より、

          16a+4b=-44・・・①

          また、f(x)は(x+2)で割ると18余るので、x=-2を代入すると18になります。

          したがって、

          (-2)3+a・(-2)2-2b-20=18

          より

          4a-2b=46 …②

          ①と②を連立しましょう。

          ※連立方程式を忘れてしまった人は、連立方程式について解説した記事をご覧ください。

          ①と②を連立することで、

          a=2、b=-19・・・(答)

          が得られます。

           

            因数定理のまとめ

            因数定理とは何か、また因数定理の使い方についてお分かりいただけましたか?

            因数定理は数学の重要な定理の一つです。

            因数定理を忘れてしまった時は、また本記事で因数定理を復習しましょう。

            →因数分解に役立つ記事まとめはコチラ!

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            この記事の執筆者

            ニックネーム:やっすん

            早稲田大学商学部4年
            得意科目:数学