必要十分条件を即理解!必要条件、十分条件とは?どっちなのかすぐ分かる判別方法!

数学 2015.12.11
必要十分条件を即理解!必要条件、十分条件とは?どっちなのかすぐ分かる判別方法!

「必要条件・十分条件がどっちがどっちだか分からなくなってしまう。」

そんな方は多いと思います。今回は、必要条件、十分条件を、もう迷わなくなる分かりやすい判別方法・覚え方を紹介します。

 

    1. 必要条件 十分条件とは?

    命題P⇒Qが真である時・・
    PはQの十分条件
    QはPの必要条件
    両方が成り立つ時、PはQの必要十分条件
    と言います。

    簡単な例を見てみましょう。

    「リンゴは果物であるための〇〇条件」〇〇に当てはまるものは何でしょう?

    定義に基づいて、必要条件、十分条件を仮定してみましょう。

    ・リンゴは果物であるための十分条件

    ⇒これはです。

    ・果物はリンゴであるための必要条件

    ⇒果物には、バナナもイチゴもサクランボもありますのでになります。

    真偽(果物)

    だから、リンゴは果物であるための十分条件」になります。ちょっと難しいと感じた方は、次の章でより簡単な覚え方を紹介します。

     

      2.必要条件 十分条件 覚え方

      必要条件・十分条件は複雑そうに見えますが、図を覚えてしまえばもう迷う事はなくなります。

      PはQの〇〇条件です。」のような問題を見たら以下のような図で必要条件、十分条件を判断しましょう。

      必要条件・十分条件

      十分条件:→は右方向です。「PならばQ」というように覚えましょう。

      必要条件:←は左方向です。「QならばP」というように覚えましょう。

      例えば、リンゴは果物であるための〇〇条件である。」という問題の時は以下のような図になります。

      必要条件・十分条件

      十分条件は、「リンゴならば、果物である。」になります。これはです。

      必要条件は、「果物ならば、リンゴである。」になります。これは明らかにですね。果物には、バナナもイチゴもメロンもあります。

      よって、「リンゴは果物であるための十分条件である。」が正解になります。

      ただ、間違ってはいけないのが、

      「PはQの〇〇条件である。」のようにP⇒Qが最初に定義された時に上記は成り立ちます。

      当然「QはPの○○条件である。」と問題文で書かれていたら、必要、十分は逆になります。

       

      ※よく、必要条件・十分条件と言ってしまいその流れで「必要」と「十分」を逆にしてしまう事があるので、「十分条件・必要条件」と覚えておくと、間違えが起こりにくくなります。

       

      3.必要条件 十分条件 問題

      必要条件、十分条件に関する問題を3題出題しますので、解いてみてください。

      (1)
      ①猫は三毛猫であるための〇〇条件
      ②猫はほ乳類であるための〇〇条件

      【解答】

      さっそく、図を使ってみましょう。

      猫・三毛猫

      十分条件は:「猫ならば三毛猫」になります。猫にも、ロシアンブルーやペルシャなどたくさんいるので、偽になります。

      必要条件は:「三毛猫ならば猫」になります。これは真ですね。

      よって、必要条件になります。

      ※問題文の最初の三毛猫→猫につられて「三毛猫→猫 ○ 猫→三毛猫 ×だからといって十分条件だ。」と考えてはいけません。今回は、問題には「猫は三毛猫であるための〜」と書いてあるので、「猫→三毛猫」が命題だと気づかなくてはいけません。

       

      猫・ほ乳類

      十分条件は:「猫ならばほ乳類」になります。これは、真です。

      必要条件は:「ほ乳類ならば猫」になります。ほ乳類にも、猿やいのししなどたくさんいるので偽です。

      よって、十分条件になります。

      次からは数学の問題です。

      (2)X<7はX≦7であるための○○条件

      【解答】

      十分条件は「X<7ならばX≦7」になります。これはです。

      必要条件は「X≦7ならばX<7」になります。X=7の時はX<7にならないので、これはです。

      よって十分条件になります。

      (3)2X+2Y=XY+4はX,Yが少なくとも1つは2であるための〇〇条件

      【解答】

      今回は図を用いた方法でも良いのですが、仮定の式を分解していった方が楽です。

      2X+2Y-XY-4=0

      ⇔X(2-Y)-2(2-Y)=0

      ⇔(X-2)(2-Y)=0

      よって、(X-2),(2-Y)のうちどちらか一方は0になり、X,Yのうち少なくとも1つは2であると分かります。

      そのため、2X+2Y=XY+4はX,Yが少なくとも1つは2であるための必要十分条件になります。

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      この記事の執筆者

      ニックネーム:受験のミカタ編集部

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