高次方程式の解き方!慶應生の3ステップで簡単に解ける!

数学 2017.2.22
高次方程式の解き方!慶應生の3ステップで簡単に解ける!

高校数学における高次方程式について、慶應大学に通う筆者が丁寧に解説します。

高次方程式の解き方は3つあります。なので、高次方程式を解く時には、その3つの解き方のどれを使うかがポイントになります。

数学が苦手な人でも高次方程式が理解できるように例題を使いながら丁寧に解説しています。

ぜひ最後まで読んで、高次方程式をマスターしましょう!

※最後には、高次方程式の計算問題も用意しました。

 

    1:高次方程式の解き方その1(因数分解)

    高次方程式を解く時にはまず、その方程式が因数分解できるかどうかを確認してみましょう!

    例題

    方程式x3-9x2+27x-27=0を解け

    解答&解説

    これは3乗の公式が適応できますね。

    ※3乗の公式を忘れてしまった人は、3乗の公式を紹介している記事をご覧ください。

    3乗の公式より

    与式

    =(x-3)3

    =0

    と因数分解できるので、

    x=3・・・(答)

    となります。

    高次方程式を解く時にはまず、「その方程式が因数分解できるか?」を確認しましょう!

     

      2:高次方程式の解き方その2(置き換え)

      高次方程式が因数分解できそうになければ、次は置き換えができるか?を検討します。

      では、例題を解いてみましょう。

      例題

      方程式x4-5x2+6=0を解け

      解答&解説

      以上のような高次方程式の問題では

      x2=Aと置き換えるのが定石です。

      すると、方程式は

      A2-5A+6=0

      と書き換えられますね。これを因数分解します。

      ※因数分解のやり方を忘れた人は、因数分解のやり方について解説した記事をご覧ください。

      因数分解すると、

      (A-2)(A-3)=0

      より、

      A=2、3

      ですね。ここで、A=x2でした。

      したがって、

      x=±√2、±√3・・・(答)

      となります。

       

      3:高次方程式の解き方その3(因数定理)

      では、「因数分解(3乗の公式など)ができそうにない」かつ「置き換えもできそうにない」という場合はどうすればよいうのでしょうか?

      そんな時は、因数定理を使って高次方程式を解きます。

      では、例題です。

      例題

      方程式x3-6x2+11x-6=0を解け。

      解答&解説

      これは因数分解の公式も置き換えも使えそうにないですね。。

      そんな時には因数定理を使います。

      ※因数定理を忘れてしまった人は、因数定理について解説した記事をご覧ください。

      P(x)=x3-6x2+11x-6とおくと、

      P(1)=0

      であるから、因数定理より

      P(x)

      =(x-1)(x2-5x+6)

      =(x-1)(x-2)(x-3)

      となる。したがって

      x=1、2、3・・・(答)

      となる。

      高次方程式の問題では因数定理を使うパターンが多いので、因数定理はしっかり理解しておきましょう!

       

        4:高次方程式の計算問題

        最後に、高次方程式の計算問題を用意しました。

        ①因数分解 ②置き換え ③因数定理

        のどれを使うかを見極めましょう!

        計算問題

        方程式2x3+3x2-5x-6=0を解け。

        解答&解説

        まず、因数分解(3乗の公式)は使えなそうですね。。

        置き換えはどうでしょう?置き換えも厳しそうです。。

        すると、因数定理を使うことになります。

        ※因数定理を忘れてしまった人は、因数定理について解説した記事をご覧ください。

        P(x)=2x3+3x2-5x-6

        とおくと、

        P(-1)=-2+3+5-6=0

        なので、因数定理より

        P(x)

        =(x+1)(2x2+x-6)

        =(x+1)(2x-3)(x+2)

        となるので、求める解は

        x=-1、3/2、-2・・・(答)

        となります。

         

          高次方程式のまとめ

          いかがでしたか?

          高次方程式の解き方が理解できましたか?

          高次方程式の解き方としては、

          ①因数分解(3乗公式)できるか確認

          ②置き換えができるか確認

          ③因数定理

          という流れを必ず覚えておきましょう!

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          この記事の執筆者

          ニックネーム:受験のミカタ編集部

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